Question

5．設(shè)非負(fù)實(shí)數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{3x-y≥0}\\{x+3y+m≤0}\end{array}\right.$（m＜0），則不等式所表示的區(qū)域的面積等于$\frac{3{m}^{2}}{20}$（用m表示）；若z=2x-y的最大值與最小值之和為19，則實(shí)數(shù)m=-10．

Answer 1

分析 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答 解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
當(dāng)y=0時(shí)，x=-m，
由$\left\{\begin{array}{l}{3x-y=0}\\{x+3y+m=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{m}{10}}\\{y=-\frac{3m}{10}}\end{array}\right.$，即A（$-\frac{m}{10}$，-$\frac{3m}{10}$），
則三角形OAB的面積S=$\frac{1}{2}×$（-m）（-$\frac{3m}{10}$）=$\frac{3{m}^{2}}{20}$，
由z=2x-y得y=2x-z，
平移直線y=2x-z，由圖象可知當(dāng)直線y=2x-z經(jīng)過點(diǎn)A（$-\frac{m}{10}$，-$\frac{3m}{10}$）時(shí)，直線y=2x-z的截距最大，此時(shí)z最�。�即最小值z(mì)=2×（$-\frac{m}{10}$）-（-$\frac{3m}{10}$）=$\frac{m}{10}$，
當(dāng)直線y=2x-z經(jīng)過點(diǎn)B（-m，0）時(shí)，直線y=2x-z的截距最小，此時(shí)z最大，
即最大值z(mì)=-2m，
∵z=2x-y的最大值與最小值之和為19，
∴-2m+$\frac{m}{10}$=19，
即m=-10．
故答案為：$\frac{3{m}^{2}}{20}$，-10．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合求出相應(yīng)的交點(diǎn)坐標(biāo)是解決本題的關(guān)鍵．