Question

11．2014年11月22日，央行決定11月22日起下調(diào) 金融機(jī)構(gòu)人民幣貸款和存款基準(zhǔn)利率，在降息等政策利好下，部分城市樓市呈現(xiàn)止跌企穩(wěn)，一線城市房價(jià)環(huán)比小幅反彈；中國股市月內(nèi)走出一波又一波上漲行情．在股票市場上，投資者常常參考股價(jià)（每一股的價(jià)格）的某條平滑均線（記作MA）的變化情況來決定買入或賣出股票．某股民老張?jiān)谘芯抗善钡淖邉輬D時(shí)，發(fā)現(xiàn)一只股票的MA均線近期走得很有特點(diǎn)：如果按如圖所示的方式建立平面直角坐標(biāo)系xOy，則股價(jià)y（元）和時(shí)間x的關(guān)系在ABC段可近似地用解析式y(tǒng)=asin（ωx+φ）+b（0＜φ＜π）來描述，從C點(diǎn)走到今天的D點(diǎn)，是震蕩筑底階段，而今天出現(xiàn)了明顯的筑底結(jié)束的標(biāo)志，且D點(diǎn)和C點(diǎn)正好關(guān)于直線l：x=34對稱．老張預(yù)計(jì)這只股票未來的走勢如圖中虛線所示，這里DE段與ABC段關(guān)于直線l對稱，EF段是股價(jià)延續(xù)DE段的趨勢（規(guī)律）走到這波上升行情的最高點(diǎn)F．現(xiàn)在老張決定取A（0，22），點(diǎn)B（12，19），點(diǎn)D（44，16）來確定解析式中的常數(shù)a，b，ω，φ，并且已經(jīng)求得$ω=\frac{π}{72}$．
（Ⅰ）請你幫老張算出a，b，φ，并回答股價(jià)什么時(shí)候見頂（即求F點(diǎn)的橫坐標(biāo)）．
（Ⅱ）老張如能在今天以D點(diǎn)處的價(jià)格買入該股票5000股，到見頂處F點(diǎn)的價(jià)格全部賣出，不計(jì)其它費(fèi)用，這次操作他能賺多少元？如他在今天以B點(diǎn)處價(jià)格買入該股5000股，在今天以D點(diǎn)處價(jià)格賣出的話，他能虧多少元？

Answer 1

分析 （Ⅰ）由C，D關(guān)于直線l對稱，可得C的坐標(biāo)（24，16），將A，B，C的坐標(biāo)代入解析式，可得a，b，φ，以及F的橫坐標(biāo)；
（Ⅱ）求得F的縱坐標(biāo)，即有老張能賺5000×（25-16）；求得D的縱坐標(biāo)，可得老張可能虧5000×（19-16）元．

解答 解：（Ⅰ）由C，D關(guān)于直線l對稱，
即有C點(diǎn)坐標(biāo)為（2×34-44，16）即（24，16），
把A、B、C的坐標(biāo)代入解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{22=asinφ+b}\\{19=asin（\frac{π}{6}+φ）+b}\\{16=asin（\frac{π}{3}+φ）+b}\end{array}\right.$，
第二式減去第一式，得a[sin（$\frac{π}{6}$+φ）-sinφ]=-3，
第三式減去第一式，得a[sin（$\frac{π}{3}$+φ）-sinφ]=-6，
可得2sin（$\frac{π}{6}$+φ）-2sinφ=sin（$\frac{π}{3}$+φ）-sinφ，
可得cosφ+$\sqrt{3}$sinφ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosφ+$\frac{3}{2}$sinφ，
即（1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）cosφ=（$\frac{3}{2}$-$\sqrt{3}$）sinφ=$\sqrt{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$-1）sinφ，
即為tanφ=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
由0＜φ＜π，可得φ=π-$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，
代入第二式，得b=19，
再由第一式，得a=6，
即為a=6，b=19，φ=$\frac{5π}{6}$．
于是，ABC段的解析式為y=6sin（$\frac{π}{72}$x+$\frac{5π}{6}$）+19，
由對稱性得，DEF段的解析式為y=6sin[$\frac{π}{72}$（68-x）+$\frac{5π}{6}$]+19，
由$\frac{π}{72}$（68-x_F）+$\frac{5π}{6}$=$\frac{π}{2}$，解得x_F=92，
即有當(dāng)x=92時(shí)，股價(jià)見頂；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，y_F=6+19=25，
故這次操作老張能賺5000×（25-16）=45000元．
由（1）可知y_E=19，y_D=16，
故這次操作老張可能虧5000×（19-16）=15000元．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)模型的應(yīng)用題的解法，考查三角函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．