Question

9．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距為2．
（1）若橢圓C經(jīng)過點(diǎn)（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，1），求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)A（-2，0），F(xiàn)為橢圓C的左焦點(diǎn)，若橢圓C上存在點(diǎn)P，滿足$\frac{PA}{PF}$=$\sqrt{2}$，求橢圓C的離心率的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可得a²-b²=1，代入已知點(diǎn)，可得a，b的方程，解方程即可得到所求橢圓方程；
（2）設(shè)P（x，y），運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式，化簡(jiǎn)整理，即可得到P的軌跡方程，由題意和圓相交的條件，結(jié)合離心率公式，即可得到所求范圍．

解答 解：（1）由題意可得c=1，即a²-b²=1，
又代入點(diǎn)（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，1），可得$\frac{3}{4{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$=1，
解方程可得a=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{2}$，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）由題意方程可得F（-1，0），
設(shè)P（x，y），由PA=$\sqrt{2}$PF，
可得$\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$，
化簡(jiǎn)可得x²+y²=2，
由c=1，即a²-b²=1，
由橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1和圓x²+y²=2有交點(diǎn)，
可得b²≤2≤a²，又b=$\sqrt{{a}^{2}-1}$，
可得$\sqrt{2}$≤a≤$\sqrt{3}$，
即有離心率e=$\frac{c}{a}$∈[$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用方程的思想，考查軌跡方程的求法，以及橢圓和圓相交的關(guān)系，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．