【題目】已知等差數(shù)列的公差不為零,且、成等比數(shù)列,數(shù)列滿足

1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

2)求證:.

【答案】1,;(2)證明見(jiàn)解析.

【解析】

1)設(shè)等差數(shù)列的公差為,運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì),解方程可得首項(xiàng)和公差,進(jìn)而得到,可令,求得,再將換為,相減可得;

2)原不等式轉(zhuǎn)化為,應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明,注意檢驗(yàn)時(shí)不等式成立,再假設(shè)時(shí)不等式成立,證明時(shí),不等式也成立,注意運(yùn)用分析法證明.

1)等差數(shù)列的公差不為零,,可得,

、、成等比數(shù)列,可得,即,

解方程可得,則.

數(shù)列滿足,可得,

當(dāng)時(shí),由,

可得,

相減可得,則,也適合,則,

2)證明:不等式即為

,

下面應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明.

i)當(dāng)時(shí),不等式的左邊為,右邊為,左邊右邊,不等式成立;

ii)假設(shè)時(shí),不等式成立,

當(dāng)時(shí),,

要證,

只要證,

即證,

即證,

,可得上式成立,可得時(shí),不等式也成立.

綜上可得,對(duì)一切,

.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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