Question

6．設(shè)函數(shù)f（x）=e^x（2x-1）-ax+a．
（1）若y=f（x）在x=0取得極小值，求a的值及f（x）的極小值；
（2）當(dāng)a=2時(shí)，求曲線f（x）在x=1處的切線方程；
（3）當(dāng)a＜1時(shí)，若存在唯一的整數(shù)x₀，使得f（x₀）＜0，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由題意可得f′（0）=0，解得a=1，再由f（x）的解析式，可得f（0）；
（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得x=1處的切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程可得切線的方程；
（3）設(shè)g（x）=e^x（2x-1），y=ax-a，則存在唯一的整數(shù)x₀，使得g（x₀）在直線y=ax-a的下方，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出a的取值范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=e^x（2x-1）-ax+a的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=e^x（2x+1）-a，
由題意可得f′（0）=0，即1-a=0，解得a=1．
可得f（x）=e^x（2x-1）-x+1，
可得極小值f（0）=-1+1=0；
（2）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=e^x（2x-1）-2x+2，
導(dǎo)數(shù)f′（x）=e^x（2x+1）-2
可得在x=1處的切線斜率為3e-2，切點(diǎn)為（1，e），
即有在x=1處的切線方程為y-e=（3e-2）（x-1
即為y=（3e-2）x+2-2e；
（3）函數(shù)f（x）=e^x（2x-1）-ax+a，其中a＜1
設(shè)g（x）=e^x（2x-1），y=ax-a
∵存在唯一的整數(shù)x₀，使得f（x₀）＜0
∴存在唯一的整數(shù)x₀，使得g（x₀）在直線y=ax-a的下方，
∵g′（x）=e^x（2x+1），

∴當(dāng)x＜-$\frac{1}{2}$時(shí)，g′（x）＜0，
∴當(dāng)x=-$\frac{1}{2}$時(shí)，[g（x）]_min=g（-$\frac{1}{2}$）=-2e${\;}^{-\frac{1}{2}}$．
當(dāng)x=0時(shí)，g（0）=-1，g（1）=e＞0，
直線y=ax-a恒過（1，0），斜率為a，故-a＞g（0）=-1，
且g（-1）=-3e^-1≥-a-a，解得$\frac{3}{2e}$≤a＜1．
∴a的取值范圍是[$\frac{3}{2e}$，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查不等式恒成立問題的解法，注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題．