Question

10．按照新課程的要求，高中學(xué)生在每學(xué)期都要至少參加一次社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)（以下簡(jiǎn)稱活動(dòng)）．該校高2010級(jí)一班50名學(xué)生在上學(xué)期參加活動(dòng)的次數(shù)統(tǒng)計(jì)如圖所示．
（1）求該班學(xué)生參加活動(dòng)的人均次數(shù)$\overline x$；
（2）從該班中任意選兩名學(xué)生，求他們參加活動(dòng)次數(shù)恰好相等的概率P₀．
（3）從該班中任選兩名學(xué)生，用ξ表示這兩人參加活動(dòng)次數(shù)之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圖形能夠知道參加活動(dòng)1次、2次和3次的學(xué)生人數(shù)，即可求出該班學(xué)生參加活動(dòng)的人均次數(shù)$\overline x$；
（2）“參加活動(dòng)次數(shù)恰好相等”的事件有C₅²+C₂₅²+C₂₀²，任選兩名學(xué)生有C₅₀²，可得他們參加活動(dòng)次數(shù)恰好相等的概率P₀．
（3）由題意該班中任選兩名學(xué)生的情況有“這兩人中一人參加1次活動(dòng)，另一人參加2次活動(dòng)”，“這兩人中一人參加2次活動(dòng)，另一人參加3次活動(dòng)”，“這兩人中一人參加1次活動(dòng)，另一人參加3次活動(dòng)”，ξ的取值有0，1，2，求出其概率，進(jìn)而可以求出數(shù)學(xué)期望Eξ．

解答 解：由圖可知，參加活動(dòng)1次、2次和3次的學(xué)生人數(shù)分別為5、25和20．
（1）該班學(xué)生參加活動(dòng)的人均次數(shù)為$\overline x$=$\frac{1×5+2×25+3×20}{50}=\frac{115}{50}=\frac{23}{10}$．
（2）從該班中任選兩名學(xué)生，他們參加活動(dòng)次數(shù)恰好相等的概率為${P_0}=\frac{{C_5^2+C_{25}^2+C_{20}^2}}{{C_{50}^2}}=\frac{20}{49}$．
（3）從該班中任選兩名學(xué)生，記“這兩人中一人參加1次活動(dòng)，另一人參加2次活動(dòng)”為事件A，“這兩人中一人參加2次活動(dòng)，另一人參加3次活動(dòng)”為事件B，“這兩人中一人參加1次活動(dòng)，另一人參加3次活動(dòng)”為事件C．易知$P（ξ=1）=P（A）+P（B）=\frac{{C_5^1C_{25}^1}}{{C_{50}^2}}+\frac{{C_{25}^1C_{20}^1}}{{C_{50}^2}}=\frac{25}{49}$；
ξ的分布列：

ξ	0	1	2
P	$\frac{20}{49}$	$\frac{25}{49}$	$\frac{4}{49}$

ξ的數(shù)學(xué)期望：$Eξ=0×\frac{20}{49}+1×\frac{25}{49}+2×\frac{4}{49}=\frac{33}{49}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的計(jì)算，考查隨機(jī)變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．