Question

已知

a

=（y-m，sinx），

b

=（1，sinx-1）．

a

⊥

b

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f（x）；
（2）若y=f（x）的圖象無零點，求m的取值范圍；
（3）求y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算,函數(shù)零點的判定定理

專題：平面向量及應用

分析：（1）利用向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系即可得出；
（2）利用sinx的值域即可得出；
（3）令t=sinx，則y=-t²+t+m=-(t-

1

2

)2+

1

4

+m，利用二次函數(shù)的單調(diào)性與y=sinx的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（1）∵

a

⊥

b

，∴y-m+sinx（sinx-1）=0，
∴y=f（x）=-sinx²+sinx+m，x∈R．
（2）∵sinx∈[-1，1]，
∴y=f(x)∈[-2+m，

1

4

+m]；
若y=f（x）的圖象無零點，則-2+m＞0或

1

4

+m＜0，
解得m＞2或m＜-

1

4

．
（3）令t=sinx，則y=-t²+t+m=-(t-

1

2

)2+

1

4

+m，
當t＞0.5時，y=-t²+t+m是單調(diào)遞減的，
此時t=sinx的遞減區(qū)間[2kπ+

π

2

，2kπ+

5π

6

]；
當t＜0.5時，y=-t²+t+m是單調(diào)遞增的，
且此時t=sinx的遞增區(qū)間[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

6

]；
綜上，由復合函數(shù)單調(diào)性判定法則得所求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間：[2kπ+

π

2

，2kπ+

5π

6

]；和[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

6

]；k∈Z．

點評：本題考查了數(shù)量積運算與垂直的關(guān)系、二次函數(shù)的單調(diào)性、正弦函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．