已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(x)=,a≠0,f(1)=1,且使f(x)=2x成立的實(shí)數(shù)x只有一個(gè).
(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式;
(2)若數(shù)列{an}滿足a1,an+1=f(an),bn-1,n∈N*,證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,并求出{bn}的通項(xiàng)公式;
(3)在(2)的條件下,證明:a1b1+a2b2+…+anbn<1(n∈N*).
(1) f(x)=. (2)bn=b1qn-1n-1n(n∈N*).
(3)證明:見解析
解: (1)由f(x)=,f(1)=1,得a=2b+1.
由f(x)=2x只有一解,即=2x,
也就是2ax2-2(1+b)x=0(a≠0)只有一解,
∴b=-1.∴a=-1.故f(x)=.…………………………………………4分
(2)an+1=f(an)=(n∈N*),bn-1, ∴,
∴{bn}為等比數(shù)列,q=.又∵a1,∴b1-1=,
bn=b1qn-1n-1n(n∈N*).……………………………9分
(3)證明:∵anbn=an=1-an=1-
∴a1b1+a2b2+…+anbn+…+<+…+
=1-<1(n∈N*).
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

(本題滿分12分)已知函數(shù)
(1)求的值;
(2)由(1)中求得的結(jié)果,你能發(fā)現(xiàn)有什么關(guān)系?證明你的發(fā)現(xiàn);
(3)求的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

若函數(shù)在[-1,2]上的最大值為4,最小值為m,且函數(shù)上是增函數(shù),則a=____.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

某企業(yè)接到生產(chǎn)3000臺(tái)某產(chǎn)品的A,B,C三種部件的訂單,每臺(tái)產(chǎn)品需要這三種部件的數(shù)量分別為2,2,1(單位:件).已知每個(gè)工人每天可生產(chǎn)A部件6件,或B部件3件,或C部件2件.該企業(yè)計(jì)劃安排200名工人分成三組分別生產(chǎn)這三種部件,生產(chǎn)B部件的人數(shù)與生產(chǎn)A部件的人數(shù)成正比,比例系數(shù)為k(k為正整數(shù)).
(1)設(shè)生產(chǎn)A部件的人數(shù)為x,分別寫出完成A,B,C三種部件生產(chǎn)需要的時(shí)間;
(2)假設(shè)這三種部件的生產(chǎn)同時(shí)開工,試確定正整數(shù)k的值,使完成訂單任務(wù)的時(shí)間最短,并給出時(shí)間最短時(shí)具體的人數(shù)分組方案.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

汕頭二中擬建一座長(zhǎng)米,寬米的長(zhǎng)方形體育館.按照建筑要求,每隔米(,為正常數(shù))需打建一個(gè)樁位,每個(gè)樁位需花費(fèi)萬元(樁位視為一點(diǎn)且打在長(zhǎng)方形的邊上),樁位之間的米墻面需花萬元,在不計(jì)地板和天花板的情況下,當(dāng)為何值時(shí),所需總費(fèi)用最少?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

第(1)小題滿分6分,第(2)小題滿分8分.
由于濃酸泄漏對(duì)河流形成了污染,現(xiàn)決定向河中投入固體堿。1個(gè)單位的固體堿在水中逐步溶化,水中的堿濃度與時(shí)間的關(guān)系,可近似地表示為。只有當(dāng)河流中堿的濃度不低于1時(shí),才能對(duì)污染產(chǎn)生有效的抑制作用。
(1)如果只投放1個(gè)單位的固體堿,則能夠維持有效抑制作用的時(shí)間有多長(zhǎng)?
(2)當(dāng)河中的堿濃度開始下降時(shí),即刻第二次投放1個(gè)單位的固體堿,此后,每一時(shí)刻河中的堿濃度認(rèn)為是各次投放的堿在該時(shí)刻相應(yīng)的堿濃度的和,求河中堿濃度可能取得的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

已知 上為奇函數(shù),且上為增函數(shù),,則不等式的解集為      _______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

對(duì)于上可導(dǎo)的任意函數(shù),若滿足,則必有(     )
A.B.
C.D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

設(shè)函數(shù),定義,其中,,則(   )
A.B.C.D.

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同步練習(xí)冊(cè)答案