Question

20．已知函數(shù)f（x）=2x-$\frac{2}{x}$-5lnx，g（x）=x²-mx+4，若存在x₁∈（0，1），對任意的x₂∈[1，2]，總有f（x₁）≥g（x₂）成立，則實數(shù)m的取值范圍為[8-5ln2，+∞）．

Answer 1

分析 對g（x）進行配方，討論其最值問題，根據(jù)題意?x₁∈（0，1），?x₂∈[1，2]，總有f（x₁）≥g（x₂）成立，只要f（x）_max≥g（x）_max，即可，從而求出m的范圍．

解答 解：f（x）=2x-$\frac{2}{x}$-5lnx，
g（x）=x²-mx+4=（x-$\frac{m}{2}$）²+4-$\frac{{m}^{2}}{4}$，
?x₁∈（0，1），?x₂∈[1，2]，總有f（x₁）≥g（x₂）成立，
∴要求f（x）的最大值大于g（x）的最大值即可，
f′（x）=2+$\frac{2}{{x}^{2}}-\frac{5}{x}$=$\frac{2{x}^{2}-5x+2}{{x}^{2}}$=$\frac{（2x-1）（x-2）}{{x}^{2}}$，
令g′（x）=0，
解得x₁=$\frac{1}{2}$，x₂=2，
當x∈（0，$\frac{1}{2}$），x∈（2，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)；
當x∈（$\frac{1}{2}$，2）時，g′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)．
∵x₁∈（0，1），
∴f（x）在x=$\frac{1}{2}$時取得極大值，也是最大值，
∴f（x）_max=f（$\frac{1}{2}$）=1-4+5ln2=5ln2-3，
∵g（x）=x²-mx+4=（x-$\frac{m}{2}$）²+4-$\frac{{m}^{2}}{4}$，
若m≤3，g（x）_max=g（2）=4-2m+4=8-2m，
∴5ln2-3≥8-2m，則m≥$\frac{11-5ln2}{2}$，
∵$\frac{11-5ln2}{2}$＞3，故m不存在；
若m＞3時，g（x）_max=g（1）=5-m，
∴5ln2-3≥5-m，則m≥8-5ln2，
∴實數(shù)m的取值范圍是[8-5ln2，+∞）．
故答案為：[8-5ln2，+∞）．

點評 本題考查函數(shù)單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系，和分類討論思想，及二次函數(shù)的知識，是導數(shù)中常見的恒成立問題，屬中檔題