Question

20．過(guò)橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左頂點(diǎn)A且斜率為k的直線交橢圓于另一個(gè)點(diǎn)B，且點(diǎn)B在x軸上的射影恰好為右焦點(diǎn)F，若0＜k＜$\frac{1}{3}$，則橢圓的離心率的取值范圍是（　　）

• A． （0，$\frac{1}{3}$）
• B． （$\frac{1}{3}$，1）
• C． （0，$\frac{2}{3}$）
• D． （$\frac{2}{3}$，1）

Answer 1

分析 作出圖形，則易知|AF₂|=a+c，|BF₂|=$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{a}$，再由∠BAF₂是直線的傾斜角，易得k=tan∠BAF₂，然后通過(guò)0＜k＜$\frac{1}{3}$，分子分母同除a²得0＜$\frac{1-{e}^{2}}{1+e}$＜$\frac{1}{3}$求解．

解答 解：如圖所示：|AF₂|=a+c，|BF₂|=$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{a}$，
∴k=tan∠BAF₂=$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{a（a+c）}$，
又∵0＜k＜$\frac{1}{3}$，
∴0＜$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{a（a+c）}$＜$\frac{1}{3}$，
∴0＜$\frac{1-{e}^{2}}{1+e}$＜$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{2}{3}$＜e＜1．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓與直線的位置關(guān)系及橢圓的幾何性質(zhì)和直線的斜率與傾斜角，難度不大，但需要靈活運(yùn)用和轉(zhuǎn)化知識(shí)．