【題目】已知函數(shù)是定義在, , 上的奇函數(shù),當(dāng), 時, ().
(Ⅰ)求的解析式;
(Ⅱ)設(shè), , ,求證:當(dāng)時, 恒成立;
(Ⅲ)是否存在實(shí)數(shù),使得當(dāng), 時, 的最小值是?如果存在,
求出實(shí)數(shù)的值;如果不存在,請說明理由.
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)見解析(Ⅲ)
【解析】試題分析:本題主要考查對稱區(qū)間上函數(shù)解析式、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值、恒成立問題等基礎(chǔ)知識,考查學(xué)生的分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想,考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力、計算能力.第一問,把所求范圍轉(zhuǎn)化為已知范圍代入到已知解析式,再利用奇偶性整理解析式;第二問,先將代入到和中,構(gòu)造新函數(shù),所求證的表達(dá)式轉(zhuǎn)化為,對和求導(dǎo)判斷函數(shù)單調(diào)性,求出函數(shù)最值,代入到轉(zhuǎn)化的式子中驗(yàn)證對錯即可;第三問,先假設(shè)存在最小值3,對求導(dǎo),分情況討論a,通過是否在區(qū)間內(nèi)討論a的4種情況,分別判斷函數(shù)的單調(diào)性,且數(shù)形結(jié)合求出函數(shù)最值,令其等于3,解出a的值.
(1)設(shè),則,所以又因?yàn)?/span>是定義在上的奇函數(shù),所以
故函數(shù)的解析式為2分
(2)證明:當(dāng)且時,
,設(shè)
因?yàn)?/span>,所以當(dāng)時, ,此時單調(diào)遞減;當(dāng)時, ,此時單調(diào)遞增,所以
又因?yàn)?/span>,所以當(dāng)時, ,此時單調(diào)遞減,所以
所以當(dāng)時, 即6分
(3)解:假設(shè)存在實(shí)數(shù),使得當(dāng)時, 有最小值是3,
則
(ⅰ)當(dāng), 時, . 在區(qū)間上單調(diào)遞增,
,不滿足最小值是3
(ⅱ)當(dāng), 時, , 在區(qū)間上單調(diào)遞增,
,也不滿足最小值是3
(ⅲ)當(dāng),由于,則,故函數(shù)是上的增函數(shù).所以,解得(舍去)
(ⅳ)當(dāng)時,則當(dāng)時, ,此時函數(shù)是減函數(shù);當(dāng)時, ,此時函數(shù)是增函數(shù).
所以,解得
綜上可知,存在實(shí)數(shù),使得當(dāng)時, 有最小值3 12分
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列五個命題:
(1)函數(shù)內(nèi)單調(diào)遞增。
(2)函數(shù)的最小正周期為2。
(3)函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱。
(4)函數(shù)的圖像關(guān)于直線成軸對稱。
(5)把函數(shù) 的圖象向右平移得到函數(shù)的圖象。
其中真命題的序號是________________。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對于數(shù)集,其中, ,定義向量集.若對于任意,使得,則稱具有性質(zhì).例如具有性質(zhì).
()若,且具有性質(zhì),求的值.
()若具有性質(zhì),求證: ,且當(dāng)時, .
()若具有性質(zhì),且, (為常數(shù)),求有窮數(shù)列, , , 的通項(xiàng)公式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在 中,內(nèi)角的對邊分別為,已知,且, .
(1)求的面積.
(2)已知等差數(shù)列的公差不為零,若,且成等比數(shù)列,求的前項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在極坐標(biāo)系中,曲線的方程為,以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為軸的正半軸,建立平面直角坐標(biāo)系,曲線的參數(shù)方程為,( 為參數(shù))
(1)求曲線的參數(shù)方程和曲線的普通方程;
(2)求曲線上的點(diǎn)到曲線的距離的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解春季晝夜溫差大小與某種子發(fā)芽多少之間的關(guān)系,現(xiàn)在從4月份的30天中隨機(jī)挑選了5天進(jìn)行研究,且分別記錄了每天晝夜溫差與每天100顆種子浸泡后的發(fā)芽率,得到如下表格:
(1)從這5天中任選2天,記發(fā)芽的種子數(shù)分別為,求事件“均不小于25” 的概率;
(2)從這5天中任選2天,若選取的是4月1日與4月30日的兩組數(shù)據(jù),請根據(jù)這5天中的另3天的數(shù)據(jù),求出關(guān)于的線性回歸方程;
(3)若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過2顆,則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的,試問(2)中所得到的線性回歸方程是否可靠?
參考公式: , .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的首項(xiàng), , .
(1)求證:數(shù)列為等比數(shù)列;
(2)記,若Sn<100,求最大正整數(shù)n;
(3)是否存在互不相等的正整數(shù)m,s,n,使m,s,n成等差數(shù)列,且am-1,as-1,an-1成等比數(shù)列?如果存在,請給以證明;如果不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】數(shù)列為遞增的等比數(shù)列, ,
數(shù)列滿足.
(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)求證: 是等差數(shù)列;
(Ⅲ)設(shè)數(shù)列滿足,且數(shù)列的前項(xiàng)和,并求使得對任意都成立的正整數(shù)的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓過點(diǎn),過右焦點(diǎn)且垂直于軸的直線截橢圓所得弦長是1.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)點(diǎn)分別是橢圓的左,右頂點(diǎn),過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)(與不重合),證明:直線和直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值.
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