Question

19．甲乙兩人進(jìn)行象棋比賽，約定每局勝者得1分，負(fù)者得0分．若其中的一方比對(duì)方多得2分或下滿5局時(shí)停止比賽．設(shè)甲在每局中獲勝的概率為$\frac{2}{3}$，乙在每局中獲勝的概率為$\frac{1}{3}$，且各局勝負(fù)相互獨(dú)立．
（1）求沒下滿5局甲即獲勝的概率；
（2）設(shè)比賽停止時(shí)已下局?jǐn)?shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析 （1）沒下滿5局甲即獲勝有兩種情況：①是兩局后甲獲勝，②是四局后甲獲勝，由此利用互斥事件概率加法公式能求出甲獲勝的概率．
（2）依題意，ξ的所有取值為2，4，5，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答 解：（1）沒下滿5局甲即獲勝有兩種情況：
①是兩局后甲獲勝，此時(shí)p₁=$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}$=$\frac{4}{9}$，
②是四局后甲獲勝，此時(shí)p₂=（${C}_{2}^{1}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}$）×$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}$=$\frac{16}{81}$，
∴甲獲勝的概率p=p₁+p₂=$\frac{4}{9}+\frac{16}{81}$=$\frac{52}{81}$．
（2）依題意，ξ的所有取值為2，4，5，
設(shè)前4局每?jī)删直荣悶橐惠啠瑒t該輪結(jié)束時(shí)比賽停止的概率為：
（$\frac{2}{3}$）²+（$\frac{1}{3}$）²=$\frac{5}{9}$，
若該輪結(jié)束時(shí)，比賽還將繼續(xù)，則甲、乙在該輪中必是各得一分，
此時(shí)，該輪比賽結(jié)果對(duì)下輪比賽結(jié)果是否停止沒有影響，
從而有：
P（ξ=2）=$\frac{5}{9}$，
P（ξ=4）=$\frac{4}{9}×\frac{5}{9}$=$\frac{20}{81}$，
P（ξ=5）=$（\frac{4}{9}）^{2}$=$\frac{16}{81}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	2	4	5
P	$\frac{5}{9}$	$\frac{20}{81}$	$\frac{16}{81}$

∴Eξ=$2×\frac{5}{9}+4×\frac{20}{81}+5×\frac{16}{81}$=$\frac{250}{81}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意互斥事件概率加法公式的合理運(yùn)用．