Question

4．質(zhì)檢部門從某超市銷售的甲、乙兩種食用油中分劃隨機(jī)抽取100桶檢測某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)，由檢測結(jié)果得到如下的頻率分布直方圖：

（I）寫出頻率分布直方圖（甲）中a的值；記甲、乙兩種食用油100桶樣本的質(zhì)量指標(biāo)的方差分別為${s}_{1}^{2}$，${s}_{2}^{2}$，試比較${s}_{1}^{2}$，${s}_{2}^{2}$的大�。ㄖ灰�求寫出答案）；
（Ⅱ）估計(jì)在甲、乙兩種食用油中隨機(jī)抽取1捅，恰有一個(gè)桶的質(zhì)量指標(biāo)大于20，且另一個(gè)不大于20的概率；
（Ⅲ）由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，乙種食用油的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N（μ，δ²）．其中 μ近似為樣本平均數(shù)$\overline{x}$，δ²近似為樣本方差${s}_{2}^{2}$，設(shè)X表示從乙種食用油中隨機(jī)抽取lO桶，其質(zhì)量指標(biāo)值位于（14.55，38.45）的桶數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望．
注：①同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)問的中點(diǎn)值作代表，計(jì)算得s₂=$\sqrt{142.75}$≈11.95；
②若Z-N（μ，δ²），則P（ μ-δ＜Z＜μ+δ）=0.6826，P（μ-2δ＜Z＜μ+2δ）=0.9544．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由頻率分布直方圖的性質(zhì)能求出a的值，并能比較${s}_{1}^{2}$，${s}_{2}^{2}$的大�。�
（Ⅱ）設(shè)事件A：在甲種食用油中隨機(jī)抽取1桶，其質(zhì)量指標(biāo)不大于20，事件B：在乙種食用油中隨機(jī)抽取1桶，其質(zhì)量指標(biāo)不大于20，事件C：在甲、乙兩種食用油中隨機(jī)抽取1捅，恰有一個(gè)桶的質(zhì)量指標(biāo)大于20，且另一個(gè)桶的質(zhì)量指標(biāo)不大于20，由題意分別求出P（A）和P（B），由P（C）=P（$\overline{A}$）P（B）+P（A）P（$\overline{B}$），能求出在甲、乙兩種食用油中隨機(jī)抽取1捅，恰有一個(gè)桶的質(zhì)量指標(biāo)大于20，且另一個(gè)不大于20的概率．
（Ⅲ）先求出$\overline{x}$=26.5，由條件得Z～N（26.5，142.75），從而知X～B（10，0.6826），由此能求出EX．

解答 解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖的性質(zhì)得：
（0.010+a+0.020+0.025+0.030）×10=1，
解得a=0.015．
記甲、乙兩種食用油100桶樣本的質(zhì)量指標(biāo)的方差分別為${s}_{1}^{2}$，${s}_{2}^{2}$，
由甲、乙兩種食用油檢測結(jié)果得到的頻率分布直方圖得到${s}_{1}^{2}$＞${s}_{2}^{2}$．
（Ⅱ）設(shè)事件A：在甲種食用油中隨機(jī)抽取1桶，其質(zhì)量指標(biāo)不大于20，
事件B：在乙種食用油中隨機(jī)抽取1桶，其質(zhì)量指標(biāo)不大于20，
事件C：在甲、乙兩種食用油中隨機(jī)抽取1捅，恰有一個(gè)桶的質(zhì)量指標(biāo)大于20，且另一個(gè)桶的質(zhì)量指標(biāo)不大于20，
則由題意得P（A）=0.20+0.10=0.30，
P（B）=0.10+0.20=0.30．
∴在甲、乙兩種食用油中隨機(jī)抽取1捅，恰有一個(gè)桶的質(zhì)量指標(biāo)大于20，且另一個(gè)不大于20的概率：
P（C）=P（$\overline{A}$）P（B）+P（A）P（$\overline{B}$）=0.7×0.3+0.3×0.7=0.42．
（Ⅲ）$\overline{x}$=5×0.01×10+15×0.02×10+25×0.03×10+35×0.025×10+45×0.015×10=26.5，
∵s₂=$\sqrt{142.75}$≈11.95，
∴由條件得Z～N（26.5，142.75），
從而P（26.5-11.95＜Z＜26.5+11.95）=0.6826，
∴從乙種食用油中隨機(jī)抽取1桶，其質(zhì)量指標(biāo)值位于（14.55，38.45）的概率為0.6826，
依題意知X～B（10，0.6826），
∴EX=10×0.6826=6.826．

點(diǎn)評 本題考查概率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意頻率分布直方圖的性質(zhì)和正態(tài)分布性質(zhì)的合理運(yùn)用．