Question

9．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為a的正方形，E、F分別為PC、BD的中點，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$a．
（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）求三棱錐E-PBD的體積．

Answer 1

分析 （1）連接AC，則F是AC的中點，E為PC的中點，要證EF∥平面PAD，只需證明EF∥PA即可；
（2）求三棱錐C-PBD的體積，轉(zhuǎn)化為P-BCD的體積，求出底面面積和高，即可求出三棱錐E-PBD的體積．

解答 （1）證明：連接AC，則F是AC的中點，E為PC的中點
故在△CPA中，EF∥PA，（3分）
且PA?平面PAD，EF?平面PAD，
∴EF∥平面PAD（6分）
（2）解：取AD的中點M，連接PM，
∵PA=PD，
∴PM⊥AD（8分）
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PM⊥平面ABCD，（10分）
∴三棱錐E-PBD的體積=$\frac{1}{2}{V}_{C-PBD}=\frac{1}{2}{V}_{P-BCD}$=$\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•PM$=$\frac{1}{2}•\frac{1}{3}•\frac{1}{2}a•a•\frac{1}{2}a$=$\frac{{a}^{3}}{24}$．（14分）

點評 本題考查直線和平面平行的判定，棱錐的體積，考查平面與平面垂直的性質(zhì)，是中檔題．