Question

7．設函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$ax²-bx，
（1）當a=$\frac{1}{3}$，b=$\frac{2}{3}$時，求f（x）的最大值；
（2）令F（x）=f（x）+$\frac{1}{2}$ax²+bx+$\frac{a}{x}$（0＜x≤3），其圖象上任意一點P（x₀，y₀）處切線的斜率k≤2恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值即可；
（2）求出函數(shù)的導數(shù)，得到F′（x₀）=$\frac{{x}_{0}-a}{{{x}_{0}}^{2}}$≤2在x₀（0，3]上恒成立，分離參數(shù)得：a≥${（-{{2x}_{0}}^{2}{+x}_{0}）}_{max}$，x₀∈（0，3]，從而求出a的范圍．

解答 解：（1）依題意知f（x）的定義域為（0，+∞）），
當a=$\frac{1}{3}$，b=$\frac{2}{3}$時，f（x）=lnx-$\frac{1}{6}$x²-$\frac{2}{3}$x，
f′（x）=$\frac{-（x+3）（x-1）}{3x}$，
令f′（x）=0，解得x=1，
∵x＞0，x=-3舍去，
當0＜x＜1時，f′（x）＞0，此時f（x）單調遞增；
當x＞1時，f′（x）＜0，此時f（x）單調遞減．
∴f（x）的極大值為f（1）=-$\frac{5}{6}$，此即為f（x）最大值；
（2）F（x）=lnx+$\frac{a}{x}$，x∈（0，3]，
則有k=F′（x₀）=$\frac{{x}_{0}-a}{{{x}_{0}}^{2}}$≤2在x₀（0，3]上恒成立，
∴a≥${（-{{2x}_{0}}^{2}{+x}_{0}）}_{max}$，x₀∈（0，3]，
所以當x₀=$\frac{1}{4}$時，${（-{{2x}_{0}}^{2}{+x}_{0}）}_{max}$=$\frac{1}{8}$，
∴a≥$\frac{1}{8}$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．