Question

9．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為F，點M（x₀，4）是C上一點，且|MF|=4．
（1）求點M的坐標(biāo)和拋物線C的方程．
（2）若斜率為-1的直線與拋物線C交于不同的兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且y₁≤0，y₂≤0，當(dāng)△MAB面積最大時，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意，16=2px₀，x₀+$\frac{p}{2}$=4，解方程組，即可求點M的坐標(biāo)和拋物線C的方程．
（2）設(shè)直線l的方程為y=-x+b，求出|AB|，M到直線的距離，可得△MAB面積，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由題意，16=2px₀，x₀+$\frac{p}{2}$=4，
∴x₀=2，p=4，
∴點M的坐標(biāo)是（2，4），
拋物線C的方程為y²=8x．
（2）設(shè)直線l的方程為y=-x+b，即x=-y+b，
代入y²=8x，可得y²+8y-8b=0，
∴y₁+y₂=-8，y₁y₂=-8b，
∵y₁≤0，y₂≤0，∴y₁y₂≥0，
∴b≤0，
由判別式大于0，得b＞-2，∴b的取值范圍是-2＜b≤0
∴|AB|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{64+32b}$=4$\sqrt{2}$•$\sqrt{4+2b}$，
∵M到直線的距離為$\frac{|6-b|}{\sqrt{2}}$，
∴△MAB面積S=$\frac{1}{2}$•4$\sqrt{2}$•$\sqrt{4+2b}$•$\frac{|6-b|}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{（4+2b）（6-b）^{2}}$，
令y=（4+2b）（6-b）²，y′=（6b-4）（b-6），
∴函數(shù)在（-2，0]上單調(diào)遞增，
∴b=0時，函數(shù)取得最大值y=144
∴△MAB面積最大值為24，直線l的方程為y=-x

點評 本題考查拋物線的定義與方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查三角形面積的計算，考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，確定三角形的面積是關(guān)鍵．