Question

12．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且${S_n}-1=3（{a_n}-1），n∈{Z^+}$．
（1）求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足${a_{n-1}}={（\frac{3}{2}）^{{a_n}•{b_n}}}$，若b_n≤t對(duì)于任意正整數(shù)n都成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過對(duì)${S_n}-1=3（{a_n}-1），n∈{Z^+}$變形可知S_n=3a_n-2，當(dāng)n≥2時(shí)利用a_n=S_n-S_n-1計(jì)算可知a_n=$\frac{3}{2}$a_n-1，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論；
（2）通過（1）可知b_n=（n-2）$（\frac{2}{3}）^{n-1}$，通過記f（x）=（x-2）$（{\frac{2}{3}）}^{x-1}$并對(duì)其求導(dǎo)可知f（x）在區(qū)間（0，2+$\frac{1}{ln3-ln2}$）上單調(diào)遞增、在區(qū)間（2+$\frac{1}{ln3-ln2}$，+∞）上單調(diào)遞減，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．

解答 解：（1）∵${S_n}-1=3（{a_n}-1），n∈{Z^+}$，
∴S_n=3a_n-2，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（3a_n-2）-（3a_n-1-2），
整理得：a_n=$\frac{3}{2}$a_n-1，
又∵a₁=1，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1、公比為$\frac{3}{2}$的等比數(shù)列，
∴a_n=$（\frac{3}{2}）^{n-1}$；
（2）由（1）可知$（{\frac{3}{2}）}^{n-2}$=$（\frac{3}{2}）^{（{\frac{3}{2}）}^{n-1}_{n}}$，
∴$（\frac{3}{2}）^{n-1}$b_n=n-2，即b_n=$\frac{n-2}{（\frac{3}{2}）^{n-1}}$=（n-2）$（\frac{2}{3}）^{n-1}$，
記f（x）=（x-2）$（{\frac{2}{3}）}^{x-1}$，則f′（x）=$（{\frac{2}{3}）}^{x-1}$+（x-2）$（{\frac{2}{3}）}^{x-1}$$ln\frac{2}{3}$=$（{\frac{2}{3}）}^{x-1}$[1+（x-2）$ln\frac{2}{3}$]，
令f′（x）=0，即1+（x-2）$ln\frac{2}{3}$=0，
解得：x=2+$\frac{1}{ln3-ln2}$∈（4，5），
∴f（x）在區(qū)間（0，2+$\frac{1}{ln3-ln2}$）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（2+$\frac{1}{ln3-ln2}$，+∞）上單調(diào)遞減，
又∵b₄=（4-2）$（{\frac{2}{3}）}^{4-1}$=$\frac{16}{27}$，b₅=（5-2）$（\frac{2}{3}）^{5-1}$=$\frac{16}{27}$，
∴t≥$\frac{16}{27}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)以及數(shù)列的單調(diào)性，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)判斷函數(shù)的單調(diào)性，注意解題方法的積累，屬于中檔題．