Question

11．一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需擊鼓三次，每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂，要么不出現(xiàn)音樂；每盤游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)一次音樂獲得10分，出現(xiàn)兩次音樂獲得20分，出現(xiàn)三次音樂獲得100分，沒有出現(xiàn)音樂則扣除200分（即獲得-200分）．設每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為$\frac{1}{2}$，且各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨立．
（Ⅰ）設每盤游戲獲得的分數(shù)為X，求X的分布列；
（Ⅱ）玩三盤游戲，至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是多少？

Answer 1

分析 （Ⅰ）X可能的取值為10，20，100，-200．運用幾何概率公式得出求解相應的概率，得出分布列．
（Ⅱ）利用對立事件求解得出P（A₁）=P（A₂）=P（A₃）=P（X=-200）=$\frac{1}{8}$，求解P（A₁A₂A₃）即可得出1-P（A₁A₂A₃）．

解答 解：（1）X可能的取值為10，20，100，-200．根據(jù)題意，有
P（X=10）=${C}_{3}^{1}$×（$\frac{1}{2}$）¹×（1-$\frac{1}{2}$）²=$\frac{3}{8}$，
P（X=20）=${C}_{3}^{2}$×（$\frac{1}{2}$）²×（1-$\frac{1}{2}$）¹=$\frac{3}{8}$，
P（X=100）=${C}_{3}^{3}$×（$\frac{1}{2}$）³×（1-$\frac{1}{2}$）⁰=$\frac{1}{8}$，
P（X=-200）=${C}_{3}^{0}$×（$\frac{1}{2}$）⁰×（1-$\frac{1}{2}$）³=$\frac{1}{8}$．
以X的分布列為：

X	10	20	100	-200
P	$\frac{3}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{8}$

（Ⅱ）解：設“第i盤游戲沒有出現(xiàn)音樂”為事件A_i（i=1，2，3），則
P（A₁）=P（A₂）=P（A₃）=P（X=-200）=$\frac{1}{8}$，
所以“三盤游戲中至少有一盤出現(xiàn)音樂”的概率為1-P（A₁A₂A₃）=1-（$\frac{1}{8}$）³=$\frac{511}{512}$．
因此，玩三盤游戲至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是$\frac{511}{512}$．

點評 本題考查了離散型的概率分布問題，幾何互斥事件，對立事件概率求解即可，屬于中檔題，準確計算，思路清晰．