Question

19．已知函數(shù)f（x）=ax³-3x²+b（1＜a＜2）只有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)log_a2+log_b2的最小值是（　　）

• A． $-\sqrt{2}$
• B． $\frac{3}{2}$$-\sqrt{2}$
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． $\frac{3}{2}$$+\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由題意求導(dǎo)f′（x）=3ax²-6x=3ax（x-$\frac{2}{a}$），從而可得f（$\frac{2}{a}$）=0，從而可得2log₂a+log₂b=2，化簡log_a2+log_b2═1+$\frac{1}{2}$+（$\frac{lo{g}_{2}a}{lo{g}_{2}b}$+$\frac{1}{2}$$\frac{lo{g}_{2}b}{lo{g}_{2}a}$）；再利用基本不等式即可．

解答 解：∵f（x）=ax³-3x²+b，
∴f′（x）=3ax²-6x=3ax（x-$\frac{2}{a}$），
∴令f′（x）=3ax²-6x=3ax（x-$\frac{2}{a}$）=0得，
x=0或x=$\frac{2}{a}$；
∵f（0）=b＞0，
故f（$\frac{2}{a}$）=0，
即a²b=4；
∴2log₂a+log₂b=2，
∴l(xiāng)og_a2+log_b2=$\frac{1}{lo{g}_{2}a}$+$\frac{1}{lo{g}_{2}b}$
=（$\frac{1}{lo{g}_{2}a}$+$\frac{1}{lo{g}_{2}b}$）（log₂a+$\frac{1}{2}$log₂b）
=1+$\frac{1}{2}$+（$\frac{lo{g}_{2}a}{lo{g}_{2}b}$+$\frac{1}{2}$$\frac{lo{g}_{2}b}{lo{g}_{2}a}$）≥$\frac{3}{2}$+$\sqrt{2}$；
（當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{lo{g}_{2}a}{lo{g}_{2}b}$=$\frac{1}{2}$$\frac{lo{g}_{2}b}{lo{g}_{2}a}$，即log₂a=2-$\sqrt{2}$，log₂b=2$\sqrt{2}$-2時(shí)，等號成立）．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．