Question

2．已知F₁、F₂是橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點，以BF₂為直徑的圓D經(jīng)過橢圓的上頂點A，且|$\overrightarrow{B{F}_{2}}$|=2|$\overrightarrow{A{F}_{1}}$|，$\overrightarrow{{F}_{1}A}•\overrightarrow{BA}$=24．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)圓心在y軸上的圓M與橢圓在x軸的上方有兩個交點P₁，P₂，且圓在這兩個交點處的兩條切線互相垂直且經(jīng)過兩個不同的焦點，求P₁P₂．

Answer 1

分析 （1）利用AB⊥AF₂且|$\overrightarrow{B{F}_{2}}$|=2|$\overrightarrow{A{F}_{1}}$|，可得F₁為BF₂的中點，可得a，c的關(guān)系，再由向量的數(shù)量積的坐標表示，解方程可得a，b，進而得到橢圓方程；
（2）設(shè)圓心在y軸上的圓C與橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1相交，P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）是兩個交點，依題意，利用圓和橢圓的對稱性，易知x₂=-x₁，y₁=y₂，|P₁P₂|=2|x₁|，由F₁P₁⊥F₂P₂，運用向量的數(shù)量積的坐標表示，計算可得x₁，進而得到|P₁P₂|．

解答 解：（1）由題意知F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），A（0，b）．
因為AB⊥AF₂，在Rt△ABF₂中，|$\overrightarrow{B{F}_{2}}$|=2|$\overrightarrow{A{F}_{1}}$|，
即有F₁為BF₂的中點，
又|AF₁|=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$=a，|BF₂|=2a=4c，即a=2c．
即有B（-3c，0），$\overrightarrow{BA}$=（3c，b），$\overrightarrow{{F}_{1}A}$=（c，b），
$\overrightarrow{{F}_{1}A}•\overrightarrow{BA}$=24，即為3c²+b²=24，由a²-b²=c²，a=2c，
解得a=4，b=2$\sqrt{3}$，
即有橢圓C方程為$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1；
（2）設(shè)圓心在y軸上的圓M與橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1相交，
P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）是兩個交點，
y₁＞0，y₂＞0，F(xiàn)₁P₁，F(xiàn)₂P₂是圓C的切線，且F₁P₁⊥F₂P₂，
由圓和橢圓的對稱性，易知x₂=-x₁，y₁=y₂，|P₁P₂|=2|x₁|，
由（Ⅰ）知F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），
所以$\overrightarrow{{F}_{1}{P}_{1}}$=（x₁+2，y₁），$\overrightarrow{{F}_{2}{P}_{2}}$=（-x₁-2，y₁），
再由F₁P₁⊥F₂P₂，得-（x₁+2）²+y₁²=0，
由橢圓方程得12（1-$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{16}$）=（x₁+2）²，即7x₁²+16x₁-32=0，
解得x₁=$\frac{-8+12\sqrt{2}}{7}$或x₁=$\frac{-8-12\sqrt{2}}{7}$．
故|P₁P₂|=2|x₁|=$\frac{24\sqrt{2}-16}{7}$或$\frac{24\sqrt{2}+16}{7}$．

點評 本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，考查化歸思想、方程思想分類討論思想的綜合應(yīng)用，考查綜合分析與運算能力，屬于中檔題．