【題目】已知函數(shù)，.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當(dāng)且時，求證：.

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）求得，然后分、、三種情況討論，分析導(dǎo)數(shù)的符號變化，可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；

（2）將所證不等式變形為，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)分析出函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，由可證得結(jié)論.

（1）由題意，得.

①若，令，得；令，得.

故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

②若，令，得；令，得.

故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

③若，則是常值函數(shù)，不存在單調(diào)性.

綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；

當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；

當(dāng)時，函數(shù)不存在單調(diào)性；

（2）當(dāng)時，，則即為.

不等式兩邊同時除以，得，得.

記函數(shù)，則.

設(shè).

當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.

所以當(dāng)時，.

所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.

所以，即.

故得證.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，在棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，PA=AD=DC=2，AB=4且AB∥CD，∠BAD=90°.

（1）求證：BC⊥PC；

（2）求PB與平面PAC所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）存在，對任意，有不等式成立，求實數(shù)的取值范圍；

（2）如果存在、，使得成立，求滿足條件的最大整數(shù)；

（3）對任意，存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線的參數(shù)方程為，以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．

（1）求曲線與曲線兩交點所在直線的極坐標(biāo)方程；

（2）若直線的極坐標(biāo)方程為，直線與軸的交點為，與曲線相交于兩點，求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸的非負(fù)半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.

（1）寫出曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；

（2）若直線與曲線相交于、兩點，求的面積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在高中學(xué)習(xí)過程中，同學(xué)們經(jīng)常這樣說：“數(shù)學(xué)物理不分家，如果物理成績好，那么學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就沒什么問題。”某班針對“高中生物理學(xué)習(xí)對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的影響”進(jìn)行研究，得到了學(xué)生的物理成績與數(shù)學(xué)成績具有線性相關(guān)關(guān)系的結(jié)論。現(xiàn)從該班隨機(jī)抽取5位學(xué)生在一次考試中的數(shù)學(xué)和物理成績，如下表：

(1)求數(shù)學(xué)成績y對物理成績x的線性回歸方程。若某位學(xué)生的物理成績?yōu)?0分，預(yù)測他的數(shù)學(xué)成績；

(2)要從抽取的這5位學(xué)生中隨機(jī)抽取2位參加一項知識競賽，求選中的學(xué)生的數(shù)學(xué)成績至少有一位高于120分的概率。（參考公式： 參考數(shù)據(jù)： ）

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【題目】在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），在極坐標(biāo)（與直角坐標(biāo)系取相同的長度單位，且以原點為極點，軸正半軸為極軸）中，圓的方程為

（1）求圓的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)圓與直線交于點，，若點的坐標(biāo)為，求.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】關(guān)于函數(shù)有下述四個結(jié)論：

①的周期為；

②在上單調(diào)遞增；

③函數(shù)在上有個零點；

④函數(shù)的最小值為.

其中所有正確結(jié)論的編號為（ ）

A.①②B.②③C.③④D.②④

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