Question

13．如圖，在空間幾何體ABCDEF中，底面CDEF為矩形，DE=1，CD=2，AD⊥底面CDEF，AD=1，平面BEF⊥底面CDEF，且BE=BF=$\sqrt{2}$．
（Ⅰ） 證明：AB∥平面CDEF；
（Ⅱ） 求幾何體A-DBC的體積V．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 過點B作BM⊥EF，利用平面與平面垂直的性質(zhì)，可得BM⊥底面CDEF，利用AD⊥底面CDEF，可得BM∥AD，從而可證明四邊形ADMB為平行四邊形，即可證明AB∥平面CDEF；
（Ⅱ） 利用等體積轉(zhuǎn)化，即可求幾何體A-DBC的體積V．

解答 （Ⅰ）證明：過點B作BM⊥EF，
∵平面BEF⊥底面CDEF，且BE=BF=$\sqrt{2}$，
∴M為等腰直角三角形底邊EF的中點，
∴BM⊥底面CDEF，
∵AD⊥底面CDEF，
∴BM∥AD，
又∵AD=BM=1，
∴四邊形ADMB為平行四邊形，∴AB∥DM，
∵AB?底面CDEF，DM?底面CDEF，
∴AB∥平面CDEF…（6分）
（Ⅱ）解：∵${V_{A-BCD}}={V_{B-ADC}}=\frac{1}{3}{S_{△ADC}}•d$（d為三棱錐B-ADC高）
∵DE⊥DC，DE⊥AD，∴DE⊥平面ADC
又∵平面BEF⊥底面CDEF，DE⊥EF，
∴DE⊥平面BEF
∴平面BEF∥平面ADC，
∵d=ED=1，${S_{△ADC}}=\frac{1}{2}×1×2=1$，∴V_A-BCD=$\frac{1}{3}×1×1$=$\frac{1}{3}$…（12分）

點評 本題考查平面與平面垂直的性質(zhì)，考查線面平行的判定，考查三棱錐體積的計算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．