Question

6．如圖，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，AD=AB=4，CD=1，動點P在邊BC上，且滿足$\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AD}$（m，n均為正實數），則$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$的最小值為$\frac{7+4\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 假設$\overrightarrow{BP}$=λ$\overrightarrow{BC}$，用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AD}$表示出$\overrightarrow{AP}$，使用平面向量的基本定理得出m，n與λ的關系，得到$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$關于λ的函數，求出函數的最值．

解答 解：$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}$=$\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$=-$\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$，
設$\overrightarrow{BP}$=λ$\overrightarrow{BC}$=-$\frac{3λ}{4}$$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{AD}$（0≤λ≤1），
則$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BP}$=（1-$\frac{3λ}{4}$）$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{AD}$．
∵$\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AD}$，∴m=1-$\frac{3λ}{4}$，n=λ．
∴$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$=$\frac{4}{4-3λ}+\frac{1}{λ}$=$\frac{λ+4}{-3{λ}^{2}+4λ}$=$\frac{1}{28-（3（λ+4）+\frac{64}{λ+4}）}$≥$\frac{1}{28-2\sqrt{3×64}}$=$\frac{7+4\sqrt{3}}{4}$．
當且僅當3（λ+4）=$\frac{64}{λ+4}$即（λ+4）²=$\frac{64}{3}$時取等號．
故答案為：$\frac{7+4\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題考查了平面向量的基本定理，向量的線性運算的幾何意義，基本不等式，屬于中檔題．