Question

15．從雙曲線$\frac{{x}^{2}}{a}$-y²=1的一個焦點F到向它的一條漸近線作垂線，垂足為A，O為原點．若△AOF的面積為1，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{\sqrt{7}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{5}}{2}$

Answer 1

分析 設F（c，0），且c=$\sqrt{1+a}$，求得漸近線方程，運用點到直線的距離公式，以及三角形的面積公式，可得a=4，運用離心率公式計算即可得到所求值．

解答 解：設F（c，0），且c=$\sqrt{1+a}$，
漸近線方程為y=$\frac{1}{\sqrt{a}}$x，
可得F到漸近線的距離為d=$\frac{c}{\sqrt{1+a}}$=1，
在直角三角形AOF中，可得|AO|=$\sqrt{|OF{|}^{2}-|AF{|}^{2}}$=$\sqrt{{c}^{2}-1}$=$\sqrt{a}$，
由△AOF的面積為1，可得$\frac{1}{2}$$\sqrt{a}$•1=1，可得a=4，
即有離心率e=$\frac{\sqrt{4+1}}{2}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故選：D．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用漸近線方程和點到直線的距離公式，以及三角形的面積公式，考查運算能力，屬于中檔題．