Question

3．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1-a_n=2n+2ⁿ，則{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2ⁿ+n²-n-1．

Answer 1

分析 通過(guò)a_n+1-a_n=2n+2ⁿ，當(dāng)n≥2時(shí)，利用a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁，進(jìn)而利用分組求和法計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：∵a₁=1，a_n+1-a_n=2n+2ⁿ，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=[2（n-1）+2^n-1]+[2（n-2）+2^n-2]+…+（2+2¹）+1
=2[（n-1）+（n-2）+…+1]+（2^n-1+2^n-2+…+2¹+1）
=2•$\frac{（n-1）[（n-1）+1]}{2}$+$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$
=2ⁿ+n²-n-1，
又∵當(dāng)n=1時(shí)上式成立，
∴a_n=2ⁿ+n²-n-1，
故答案為：2ⁿ+n²-n-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查累加法，考查分組求和法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．