Question

1．（1）判斷函數(shù)$f（x）=lnx-\frac{2}{x}$的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（2）函數(shù)$g（x）=\frac{2}{x}+lnx+x-2-b（b∈R）$．在區(qū)間[e^-1，e]上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（3）完成填空

	用方程表述	用函數(shù)零點(diǎn)表述
若函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的圖象在（a，b）內(nèi)有交點(diǎn)

Answer 1

分析 （1）易知函數(shù)$f（x）=lnx-\frac{2}{x}$在其定義域上單調(diào)遞增且連續(xù)，從而確定個(gè)數(shù)；
（2）求導(dǎo)g′（x）=$\frac{{x}^{2}+x-2}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+2）（x-1）}{{x}^{2}}$，從而判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而可得$\left\{\begin{array}{l}{g（1）=2+0+1-2-b＜0}\\{g（{e}^{-1}）=2e-1+\frac{1}{e}-2-b≥0}\\{g（e）=\frac{2}{e}+1+e-2-b≥0}\end{array}\right.$，從而解得；
（3）由題意得方程f（x）=g（x）在（a，b）內(nèi)有解，函數(shù)y=f（x）-g（x在（a，b）內(nèi)有零點(diǎn)．

解答 解：（1）易知函數(shù)$f（x）=lnx-\frac{2}{x}$在其定義域上單調(diào)遞增，
且函數(shù)$f（x）=lnx-\frac{2}{x}$在其定義域上連續(xù)，
而f（1）=0-2＜0，f（e）=1-$\frac{2}{e}$＞0，
故f（x）在（1，e）上有一個(gè)零點(diǎn)；
故函數(shù)$f（x）=lnx-\frac{2}{x}$的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；
（2）∵g（x）=$\frac{2}{x}$+lnx+x-2-b，
∴g′（x）=$\frac{{x}^{2}+x-2}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+2）（x-1）}{{x}^{2}}$，
∴g（x）在[e^-1，1]上是減函數(shù)，在（1，e]上是增函數(shù)；
∵在區(qū)間[e^-1，e]上有兩個(gè)零點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（1）=2+0+1-2-b＜0}\\{g（{e}^{-1}）=2e-1+\frac{1}{e}-2-b≥0}\\{g（e）=\frac{2}{e}+1+e-2-b≥0}\end{array}\right.$，
解得，$1＜b≤\frac{2}{e}+e-1$；
（3）由題意得，
用方程表述：方程f（x）=g（x）在（a，b）內(nèi)有解，
用函數(shù)零點(diǎn)表述：函數(shù)y=f（x）-g（x在（a，b）內(nèi)有零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及函數(shù)的零點(diǎn)的判定定理的應(yīng)用．