Question

1．（1）已知某圓圓心在x軸上，半徑為5，且截y軸所得線段長為8，求該圓的標準方程．
（2）已知雙曲線與橢圓$\frac{x^2}{16}$+$\frac{y^2}{49}$=1有公共的焦點，并且橢圓的離心率與雙曲線的離心率之比為$\frac{3}{7}$，求雙曲線的標準方程．

Answer 1

分析 （1）設圓的方程為（x-a）²+y²=25，由已知得a²+16=25，由此能求出該圓的標準方程．
（2）橢圓$\frac{x^2}{16}$+$\frac{y^2}{49}$=1的離心率e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{33}}{7}$，焦點坐標為${F}_{1}（-\sqrt{33}，0）$，${F}_{2}（\sqrt{33}，0）$，設雙曲線的離心率為e′，則e′=$\frac{7}{3}e=\frac{7}{3}×\frac{\sqrt{33}}{7}=\frac{\sqrt{33}}{3}$，由此能求出雙曲線的標準方程．

解答 解：（1）∵圓心在x軸上，半徑為5，
∴設圓的方程為（x-a）²+y²=25，
∵圓截y軸所得線段長為8，
∴a²+16=25，解得a=±3，
∴該圓的標準方程為（x+3）²+y²=25或（x-3）²+y²=25．
（2）∵橢圓$\frac{x^2}{16}$+$\frac{y^2}{49}$=1，∴$a=\sqrt{49}$=7，b=$\sqrt{16}$=4，c=$\sqrt{49-16}$=$\sqrt{33}$，
∴e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{33}}{7}$，焦點坐標為${F}_{1}（-\sqrt{33}，0）$，${F}_{2}（\sqrt{33}，0）$，
設雙曲線的離心率為e′，則$\frac{e}{{e}^{‘}}$=$\frac{3}{7}$，∴e′=$\frac{7}{3}e=\frac{7}{3}×\frac{\sqrt{33}}{7}=\frac{\sqrt{33}}{3}$，
設雙曲線方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{'2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{'2}}$=1，
則${a}^{'}=3，^{'}=\sqrt{33-9}$=2$\sqrt{6}$，
∴雙曲線的標準方程為：$\frac{{y}^{2}}{9}-\frac{{x}^{2}}{24}$=1．

點評 本題考查圓的方程、雙曲線的標準方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意圓、雙曲線的性質的合理運用．