Question

19．已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，a₁=1，a₂+a₃+…+a₁₀=144．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項a_n；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}的通項b_n=$\frac{1}{{{a}_{n}a}_{n+1}}$，設(shè)S_n是數(shù)列{b_n}的前n項和，若n≥3時，有S_n≥m恒成立，求m的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得出a₆=16，a₆-a₁=5d=15，運用通項公式得出通項a_n；
（2）求解數(shù)列{b_n}的通項b_n=$\frac{1}{{{a}_{n}a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}$，運用裂項的方法得出S_n=$\frac{1}{3}×$（1-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$$-\frac{1}{7}$$+\frac{1}{7}$$-\frac{1}{10}$+…$+\frac{1}{3n-2}$$-\frac{1}{3n+1}$）正負抵消即可，
S_n=$\frac{n}{3n+1}$=$\frac{1}{3+\frac{1}{n}}$，根據(jù)單調(diào)性得出只需m≤S₃時，求解即可得出m的最大值．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，a₁=1，a₂+a₃+…+a₁₀=144．
∴9a₆=144，a₆=16，
∵a₆-a₁=5d=15，d=3，
∴數(shù)列{a_n}的通項a_n=3n-2，
（2）∵a_n=3n-2，a_n+1=3n+1，
∴數(shù)列{b_n}的通項b_n=$\frac{1}{{{a}_{n}a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{1}{3}$×（$\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$）
∴S_n=$\frac{1}{3}×$（1-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$$-\frac{1}{7}$$+\frac{1}{7}$$-\frac{1}{10}$+…$+\frac{1}{3n-2}$$-\frac{1}{3n+1}$）=$\frac{1}{3}×$（1$-\frac{1}{3n+1}$）=$\frac{1}{3}×$$\frac{3n}{3n+1}$=$\frac{n}{3n+1}$，
∵S_n=$\frac{n}{3n+1}$=$\frac{1}{3+\frac{1}{n}}$，S₃=$\frac{3}{10}$，
∴根據(jù)函數(shù)性得出S_n是關(guān)于n的增函數(shù)，
∵若n≥3時，有S_n≥m恒成立，
∴只需m≤S₃時，
即m的最大值為$\frac{3}{10}$．

點評 本題考查了運用方程組的方法求解數(shù)列的通項公式，運用裂項的方法求解數(shù)列的和，關(guān)鍵是裂開通項公式，難度不大，數(shù)中檔題．