Question

20．已知函數(shù)f（x）=e^x+x²-x，若對任意x₁，x₂∈[-2，2]，|f（x₁）-f（x₂）|≤k恒成立，則k的取值范圍是（　　）

• A． [e²-1，+∞）
• B． [e²，+∞）
• C． [e²+1，+∞）
• D． [1，+∞）

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=e^x+x²-x對任意x₁，x₂∈[-2，2]，|f（x₁）-f（x₂）|≤k恒成立，等價于f（x）=e^x+x²-x在[-2，2]內(nèi)的最大值與最小值的差小于等于k．

解答 解：∵f（x）=e^x+x²-x，
∴f′（x）=e^x+2x-1，
由f′（x）=e^x+2x-1=0，得x=0．又f′（x）單調(diào)遞增，可知f′（x）=0有唯一零點0，
∵f（-2）=$\frac{1}{{e}^{2}}$+6，f（2）=e²+2，f（0）=1．
∴函數(shù)f（x）=e^x+x²-x在[-2，2]內(nèi)的最大值是e²+2，最小值是1．
∴函數(shù)f（x）=e^x+x²-x，對任意x₁，x₂∈[-2，2]，|f（x₁）-f（x₂）|≤e²+2-1=e²+1．
∵函數(shù)f（x）=e^x+x²-x對任意x₁，x₂∈[-2，2]，|f（x₁）-f（x₂）|≤k恒成立，
∴k≥e²+1．
∴k的取值范圍為[e²+1，+∞）．
故選：C．

點評 本題考查滿足條件的實數(shù)的取值范圍的求法，解題的關(guān)鍵是要分析出|f（x₁）-f（x₂）|≤f（x）_max-f（x）_min．屬于中檔題