Question

8．已知函數(shù)f（x）=x²+2ax+2．
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-3，3]上的最大值和最小值；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=x-1，當(dāng)x∈[-1，3]時(shí)，恒有f（x）＞g（x），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=x²-2x+2，可得對(duì)稱軸，判斷與區(qū)間的關(guān)系，可得最小值，再由端點(diǎn)處的函數(shù)值，可得最大值；
（2）由題意可得x²+2ax+2＞x-1即（1-2a）x＜3+x²，對(duì)x∈[-1，3]恒成立．討論當(dāng)x=0，當(dāng)-1≤x＜0時(shí)，當(dāng)0＜x≤3時(shí)，運(yùn)用參數(shù)分離和函數(shù)的最值的求法，即可得到所求a的范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=x²-2x+2，
對(duì)稱軸為x=1，由1∈[-3，3]，可得f（1）取得最小值1；
由f（-3）=17，f（3）=5，可得f（x）的最大值為17；
（2）函數(shù)g（x）=x-1，當(dāng)x∈[-1，3]時(shí)，恒有f（x）＞g（x），
即為x²+2ax+2＞x-1即（1-2a）x＜3+x²，對(duì)x∈[-1，3]恒成立．
當(dāng)x=0時(shí)，0＜3顯然成立；
當(dāng)-1≤x＜0時(shí)，1-2a＞x+$\frac{3}{x}$，由x+$\frac{3}{x}$的導(dǎo)數(shù)1-$\frac{3}{{x}^{2}}$＜0，
可得x+$\frac{3}{x}$在[-1，0）遞減，可得最大值為-4，則1-2a＞-4，解得a＜$\frac{5}{2}$；
當(dāng)0＜x≤3時(shí)，1-2a＜x+$\frac{3}{x}$，由x+$\frac{3}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{3}{x}}$=2$\sqrt{3}$，當(dāng)且僅當(dāng)x=$\sqrt{3}$∈（0，3]，
可得最小值為2$\sqrt{3}$，則1-2a＜2$\sqrt{3}$，解得a＞$\frac{1}{2}$-$\sqrt{3}$．
綜上可得，a的取值范圍是（$\frac{1}{2}$-$\sqrt{3}$，$\frac{5}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的求法，注意運(yùn)用對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，考查不等式恒成立問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用參數(shù)分離和函數(shù)的單調(diào)性，求得最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．