Question

19．已知a＞0，b＞0，且（a-b）²+（2a+3b）²=5c²．當(dāng)$\frac{{c}^{2}}{ab}$取最小值時(shí)，$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$的值為$\frac{4+2\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 由已知結(jié)合基本不等式求出$\frac{{c}^{2}}{ab}$取最小值的條件，然后代入$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$求得值．

解答 解：由（a-b）²+（2a+3b）²=5c²，得
a²-2ab+b²+4a²+12ab+9b²=5c²，
整理得：a²+2b²+2ab=c²，
∴${c}^{2}=2ab+{a}^{2}+2^{2}≥2ab+2\sqrt{2}ab$，
則$\frac{{c}^{2}}{ab}≥2（\sqrt{2}+1）$，當(dāng)且僅當(dāng)$a=\sqrt{2}b$時(shí)等號(hào)成立，
此時(shí)${c}^{2}=2\sqrt{2}^{2}+4^{2}$，
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}^{2}+4^{2}}{2^{2}+^{2}}=\frac{4+2\sqrt{2}}{3}$．
故答案為：$\frac{4+2\sqrt{2}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用，考查了利用基本不等式求最值，是中檔題．