Question

19．已知R上的奇函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（x-2）=-f（x），且x∈[0，1]時(shí)，f（x）=2^x+x-1．若方程f（x）=1在區(qū)間[-6，4]上有m個(gè)不同的根x₁，x₂，…，x_m，則$\sum_{i=1}^{m}$x_i=（　�。�

• A． -6
• B． 6
• C． 0
• D． -4

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的條件，判斷函數(shù)的周期，利用函數(shù)的奇偶性和周期性即可得到結(jié)論．

解答 解：∵f（x-2）=-f（x）
∴f（x+2）=-f（x）
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x）
即 f（x）=f（x+4）
∴f（x）是一個(gè)周期函數(shù)，周期為4．
且f（x-2）=-f（x）=f（-x），則函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為x=1，
∵x∈[0，1]時(shí)，f（x）=2^x+x-1，
∴在[0，2]上滿(mǎn)足方程f（x）=1的兩根的和為2，
在[-4，-2]上滿(mǎn)足方程f（x）=1的兩根的和為-6，
∴$\sum_{i=1}^{m}$x_i=2-6=-4．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查方程根的應(yīng)用，根據(jù)條件結(jié)合函數(shù)的周期性和奇偶性是解決本題的關(guān)鍵．