Question

13．已知各項(xiàng)均不為零的數(shù)列{a_n}滿足：a₁=a₂=1，a_n+2a_n=p•a_n+1²（其中p為非零常數(shù)，n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令bn=$\frac{n{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$，S_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，求S_n．

Answer 1

分析 （1）由a₁=a₂=1，a_n+2a_n=p•a_n+1²（其中p為非零常數(shù)），可得a₃=p．變形為：$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$=p•$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=p^n-1，再利用“累乘求積”即可得出．
（2）對(duì)p分類討論，利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（1）∵a₁=a₂=1，a_n+2a_n=p•a_n+1²（其中p為非零常數(shù)），
∴a₃•1=p×1，解得a₃=p．同理可得a₄=p³．
變形為：$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$=p•$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$，
∴數(shù)列$\{\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}\}$從第二項(xiàng)開始為等比數(shù)列，公比為p．
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=p^n-1，
∴n≥2時(shí)，a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$$•\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-3}}$•…•$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$•a₂=p^n-2•p^n-3•p^n-4•…•p×1=${p}^{\frac{（n-1）（n-2）}{2}}$．
當(dāng)n=1時(shí)也成立，∴a_n=${p}^{\frac{（n-1）（n-2）}{2}}$．
（2）b_n=$\frac{n{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=np^2n-1，（p≠0）．
當(dāng)p=1時(shí)，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$．
當(dāng)p≠1時(shí)，S_n=p+2p³+3p⁵+…+np^2n-1，
∴p²S_n=p³+2p⁵+…+（n-1）p^2n-1+np²ⁿ⁺¹，
∴（1-p²）S_n=p+2（p³+p⁵+…+p^2n-1）-np²ⁿ⁺¹=p+2×$\frac{{p}^{3}（{p}^{2（n-1）-1}）}{{p}^{2}-1}$-np²ⁿ⁺¹=$\frac{（2+n）{p}^{2n+1}-{p}^{3}-p-n{p}^{2n+3}}{{p}^{2}-1}$，
∴S_n=$\frac{{p}^{3}+p+n{p}^{2n+3}-（2+n）{p}^{2n+1}}{（1-{p}^{2}）^{2}}$．
∴S_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n（n+1）}{2}，p=1}\\{\frac{{p}^{3}+p+n{p}^{2n+3}-（2+n）{p}^{2n+1}}{（1-{p}^{2}）^{2}}，p≠0，1}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、遞推關(guān)系、“累乘求積”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．