Question

1．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}，x≤0}\\{{x}^{3}-3x，x＞0}\end{array}\right.$，若直線y=kx-$\frac{1}{4}$與f（x）的圖象有三個公共點，則實數(shù)k的取值范圍是（　�。�

• A． （-$\frac{9}{4}$，+∞）
• B． （0，+∞）
• C． （-$\frac{7}{4}$，+∞）
• D． （-3，-$\frac{9}{4}$）∪（-$\frac{7}{4}$，+∞）

Answer 1

分析 先畫出f（x）的圖象，由圖象可知，y=kx-$\frac{1}{4}$過定點（-$\frac{1}{4}$，0），當k≥0時，由圖象可知，有三個交點，當k＜0時，設直線y=kx-$\frac{1}{4}$與f（x）=x³-3x的切點坐標為（x₀，y₀），利用導數(shù)的幾何意義求出k的值，再根據(jù)斜率公式求出k，繼而求出k的值，有圖象可知k的范圍．

解答 解：畫出f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}，x≤0}\\{{x}^{3}-3x，x＞0}\end{array}\right.$的圖象，如圖所示，
∵y=kx-$\frac{1}{4}$過定點（-$\frac{1}{4}$，0），
當k≥0時，由圖象可知，有三個交點，
當k＜0時，
設直線y=kx-$\frac{1}{4}$與f（x）=x³-3x的切點坐標為（x₀，y₀），
∴f′（x）=3x²-3，
∴f′（x₀）=3x₀²-3=k=$\frac{{y}_{0}+\frac{1}{4}}{{x}_{0}}$，
即3x₀³-3x₀=y₀+$\frac{1}{4}$
∵y₀=x₀³-3x₀，
∴3x₀³-3x₀=x₀³-3x₀+$\frac{1}{4}$，
解得x₀=$\frac{1}{2}$，
∴k=3x₀²-3=-$\frac{9}{4}$，
∴-$\frac{9}{4}$＜k＜0時，也有三個交點，
綜上所述，k的取值范圍為（-$\frac{9}{4}$，+∞）．
故選：A．

點評 本題主要考查函數(shù)的圖象的交點以及數(shù)形結合方法，數(shù)形結合是數(shù)學解題中常用的思想方法，本題由于使用了數(shù)形結合的方法，使得問題便迎刃而解，且解法簡捷，屬于中檔題．