1.已知f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2},x≤0}\\{{x}^{3}-3x,x>0}\end{array}\right.$,若直線y=kx-$\frac{1}{4}$與f(x)的圖象有三個公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是( 。
A.(-$\frac{9}{4}$,+∞)B.(0,+∞)C.(-$\frac{7}{4}$,+∞)D.(-3,-$\frac{9}{4}$)∪(-$\frac{7}{4}$,+∞)

分析 先畫出f(x)的圖象,由圖象可知,y=kx-$\frac{1}{4}$過定點(diǎn)(-$\frac{1}{4}$,0),當(dāng)k≥0時,由圖象可知,有三個交點(diǎn),當(dāng)k<0時,設(shè)直線y=kx-$\frac{1}{4}$與f(x)=x3-3x的切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出k的值,再根據(jù)斜率公式求出k,繼而求出k的值,有圖象可知k的范圍.

解答 解:畫出f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2},x≤0}\\{{x}^{3}-3x,x>0}\end{array}\right.$的圖象,如圖所示,
∵y=kx-$\frac{1}{4}$過定點(diǎn)(-$\frac{1}{4}$,0),
當(dāng)k≥0時,由圖象可知,有三個交點(diǎn),
當(dāng)k<0時,
設(shè)直線y=kx-$\frac{1}{4}$與f(x)=x3-3x的切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),
∴f′(x)=3x2-3,
∴f′(x0)=3x02-3=k=$\frac{{y}_{0}+\frac{1}{4}}{{x}_{0}}$,
即3x03-3x0=y0+$\frac{1}{4}$
∵y0=x03-3x0,
∴3x03-3x0=x03-3x0+$\frac{1}{4}$,
解得x0=$\frac{1}{2}$,
∴k=3x02-3=-$\frac{9}{4}$,
∴-$\frac{9}{4}$<k<0時,也有三個交點(diǎn),
綜上所述,k的取值范圍為(-$\frac{9}{4}$,+∞).
故選:A.

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)的圖象的交點(diǎn)以及數(shù)形結(jié)合方法,數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法,本題由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法,使得問題便迎刃而解,且解法簡捷,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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已知上的可導(dǎo)函數(shù),且對,均有,則有( )

A.

B.

C.

D.

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12.將函數(shù)$y=2sin(ωx+\frac{π}{3})(ω>0)$的圖象分別向左、向右各平移$\frac{π}{3}$個單位后,所得的兩個圖象的對稱軸重合,則ω的最小值為( 。
A.3B.$\frac{4}{3}$C.6D.$\frac{3}{2}$

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9.$\sqrt{{a}^{\frac{11}{2}}\sqrt{{a}^{-3}}}$-3${\;}^{-lo{g}_{3}2}$+log${\;}_{\sqrt{3}}$1=a2-$\frac{1}{2}$.

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16.函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>0,|φ<$\frac{π}{2}$)的圖象如圖所示.
(1)直接寫出f(x)表達(dá)式;
(2)將f(x)圖象上所有點(diǎn)縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)縮短為原來的$\frac{2}{3}$,然后再向右平移$\frac{π}{4}$得到g(x)圖象,求g(x)的單調(diào)區(qū)間.

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6.在圓C1:x2+y2=4內(nèi)任取一點(diǎn)P,P落在圓C2:(x-a)2+y2=1內(nèi)的概率是$\frac{1}{4}$,則a的范圍是(  )
A.-1≤a≤1B.-2≤a≤2C.0≤a≤1D.-1≤a≤0

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13.已知各項均不為零的數(shù)列{an}滿足:a1=a2=1,an+2an=p•an+12(其中p為非零常數(shù),n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)令bn=$\frac{n{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$,Sn為數(shù)列{bn}的前n項和,求Sn

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10.在區(qū)間[0,2π]上隨機(jī)取一個數(shù)x,則事件“cosx≥$\frac{1}{2}$”發(fā)生的概率為( 。
A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{1}{3}$C.$\frac{2}{3}$D.$\frac{11}{12}$

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11.有兩件事和四個圖象,兩件事為:①我離開家不久,發(fā)現(xiàn)自己把作業(yè)本忘在家里了,于是返回家找到作業(yè)本再上學(xué);②我出發(fā)后,心情輕松,緩緩前行,后來為了趕時間開始加速,四個圖象如下:

與事件①,②對應(yīng)的圖象分別為( 。
A.a,bB.a,cC.d,bD.d,c

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