Question

7．已知直線x=my+1過拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點F且與拋物線相交于兩點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），自M，N向準線L作垂線，垂足分別為M₁，N₁．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）證明：無論m取何實數時，y₁y₂，x₁x₂都是定值；
（Ⅲ）記△FMM₁，△FM₁N₁，△FNN₁的面積分別為S₁，S₂，S₃，試判斷$S_2^2=4{S_1}{S_3}$是否成立，并證明你的結論．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由條件知$F（{\frac{p}{2}，0}）$在直線x=my+1上，即p=2，可得拋物線C的方程；
（Ⅱ）直線與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理，即可證明；
（III）S₂²=4S₁S₃成立，證明如下：設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則由拋物線的定義得|MM₁|=|MF|=x₁+1，|NN₁|=|NF|=x₂+1，由此入手能夠推導出S₂²=4S₁S₃成立．

解答 （Ⅰ）解：由條件知$F（{\frac{p}{2}，0}）$在直線x=my+1上，即p=2，
所以拋物線C的方程為y²=4x．…（2分）
（Ⅱ）證明：由$\left\{\begin{array}{l}x=my+1\\{y^2}=4x\end{array}\right.$得y²-4my-4=0．…（3分）
則y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4．…（4分）
則${x_1}{x_2}=\frac{y_1^2}{4}•\frac{y_2^2}{4}=\frac{{{{（{{y_1}{y_2}}）}^2}}}{16}=1$，即有定值y₁y₂=-4，x₁x₂=1．…（6分）
（III）解：根據條件有M₁（-1，y₁），N₁（-1，y₂）．
由拋物線的定義得|MM₁|=x₁+1，|NN₁|=x₂+1，…（7分）
于是${S_1}=\frac{1}{2}（{{x_1}+1}）•|{y_1}|$，${S_2}=\frac{1}{2}•2•|{{y_1}-{y_2}}|=|{{y_1}-{y_2}}|$，.${S_3}=\frac{1}{2}（{{x_2}+1}）•|{y_2}|$…（8分）
∵$S_2^2={（{{y_1}-{y_2}}）^2}={（{{y_1}+{y_2}}）^2}-4{y_1}{y_2}=16{m^2}+16$，…（9分）
$4{S_1}{S_3}=4•\frac{1}{2}（{{x_1}+1}）•|{y_1}|•\frac{1}{2}（{{x_2}+1}）•|{y_2}|=（{{x_1}+1}）（{{x_2}+1}）•|{{y_1}{y_2}}|=4（{m{y_1}+2}）（{m{y_2}+2}）$=$4•[{{m^2}{y_1}{y_2}+2m（{{y_1}+{y_2}}）+4}]=4•（{-4{m^2}+8{m^2}+4}）=16{m^2}+16$，
則有$S_2^2=4{S_1}{S_3}$．…（12分）

點評 本題考查拋物線的方程，直線和圓錐曲線的位置關系，考查三角形面積的計算，屬于中檔題．