Question

14．已知菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=60°，將菱形ABCD沿對角線BD翻折，使點C翻折到點C₁的位置，點E，F(xiàn)，M分別是AB，DC₁，BC₁的中點．
（I）求證：AC₁⊥BD；
（Ⅱ）當EM=$\sqrt{6}$時，求三棱錐B-EFM的體積．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)菱形的對角線相互垂直，得到C₁O⊥BD且AO⊥BD，所以BD⊥平面AOC₁，從而得到平面AC₁O內(nèi)的直線AC₁BD．
（Ⅱ）求出E到平面BFM的距離，利用V_B-EFM=V_E-BMF，結(jié)合體積公式，即可求三棱錐B-EFM的體積．

解答 （I）證明：在菱形ABCD中，設O為AC，BD的交點，則AC⊥BD．   
連接AO，C₁O
∴在三棱錐C₁-ABD中，C₁O⊥BD，AO⊥BD．
又 C₁O∩AO=O，
∴BD⊥平面AOC₁．           
又∵AC₁?平面AOC₁，
∴BD⊥AC₁．         
（Ⅱ）解：取OB的中點N，連接MN，EN，則EN=MN=$\sqrt{3}$，
∵EM=$\sqrt{6}$，
∴∠MNE=90°，
∴E到平面BFM的距離為ENsin90°=$\sqrt{3}$
∴V_B-EFM=V_E-BMF=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}×\sqrt{3}×\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$．

點評 本題根據(jù)一個平面圖形的翻折，求證線線垂直，求三棱錐B-EFM的體積．著重考查線面垂直的判定與性質(zhì)和錐體體積公式等知識，屬于中檔題．