Question

10．在平面直角坐標系中，已知動點T到點A（-4，0），B（-1，0）的距離比為2．
（1）求動點T的軌跡方程Γ；
（2）已知點P是直線l：y=x與曲線Γ在第一象限內(nèi)的交點，過點P引兩條直線分別交曲線Γ于Q，R，且直線PQ，PR的傾斜角互補，試判斷直線QR的斜率是否為定值，若是定值，請求出這個定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)T（x，y），由題意知：|TA|=2|TB|，由此即可求得曲線C的方程；
（2）確定Q，R的坐標，從而可得直線QR的斜率．

解答 解：（1）設(shè)T（x，y），由題意知：|TA|=2|TB|．
即$\sqrt{（x+4）^{2}+{y}^{2}}$=2$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$，化簡得x²+y²=4，即為動點T的軌跡方程．
（2）直線QR的斜率為定值1．證明過程如下：
當x=y時，代入x²+y²=4，得P（$\sqrt{2}，\sqrt{2}$）（第一象限內(nèi)）．
顯然，直線PQ的斜率存在，不妨設(shè)直線PQ：y=k（x-$\sqrt{2}$）+$\sqrt{2}$，Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂），
聯(lián)立圓的方程，得（1+k²）x²-2$\sqrt{2}$k（k-1）x+2（k²-2k-1）=0．
則x₁=$\frac{\sqrt{2}（{k}^{2}-2k-1）}{1+{k}^{2}}$，y₁=-$\frac{\sqrt{2}（{k}^{2}+2k-1）}{1+{k}^{2}}$．
即Q（$\frac{\sqrt{2}（{k}^{2}-2k-1）}{1+{k}^{2}}$，-$\frac{\sqrt{2}（{k}^{2}+2k-1）}{1+{k}^{2}}$）．
同理，直線PR的斜率為-k，用-k代替k，則R（$\frac{\sqrt{2}（{k}^{2}+2k-1）}{1+{k}^{2}}$，-$\frac{\sqrt{2}（{k}^{2}-2k-1）}{1+{k}^{2}}$）．
那么直線QR的斜率為1為定值．

點評 本題考查軌跡方程的求解，考查直線的斜率，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．