Question

3．已知不等式ax²-3x+6＞4的解集為{x|x＜1或x＞b}．
（1）求a、b的值；
（2）當n＞2時，解不等式：ax²+bn＜（an+b）x．

Answer 1

分析 （1）根據一元二次不等式與對應方程之間的關系，利用根與系數的關系，列出方程組，求出a、b的值；
（2）由a、b的值，把不等式ax²+bn＜（an+b）x化為（x-2）（x-n）＜0，
再根據n＞2求出該不等式的解集．

解答 解：（1）因為不等式ax²-3x+6＞4的解集為{x|x＜1或x＞b}，
所以x₁=1與x₂=b是方程ax²-3x+2=0的兩個實數根，且b＞1；
由根與系數的關系得$\left\{\begin{array}{l}{1+b=\frac{3}{a}}\\{1•b=\frac{2}{a}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
即a的值是1，b的值是2；
（2）因為a=1，b=2，
所以不等式ax²+bn＜（an+b）x可化為x²-（2+n）x+2n＜0，
即（x-2）（x-n）＜0；
又因為n＞2，
所以不等式（x-2）（x-n）＜0的解集為{x|2＜x＜n}．

點評 本題考查了一元二次不等式的解法與應用問題，也考查了根與系數的應用問題，是基礎題目．