Question

16．將圓心角為α的扇形卷成一個圓錐，當圓錐的體積最大時，α=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$π．

Answer 1

分析 設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，體積為V，求出r²+h²=R²，表示出體積表達式，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值，得到結(jié)果．

解答 解：設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，體積為V，那么r²+h²=R²，

因此，V=$\frac{1}{3}$πr²h=$\frac{1}{3}$π（R²-h²）h=$\frac{1}{3}$πR²h-$\frac{1}{3}$πh³（0＜h＜R）．
V′=$\frac{1}{3}$πR²-πh²．
令V'=0，即$\frac{1}{3}$πR²-πh²=0，得 h=$\frac{\sqrt{3}}{3}$R．…（5分）
當 0＜h＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$R時，V'＞0．
當$\frac{\sqrt{3}}{3}$R＜h＜R時，V'＜0．
所以，h=$\frac{\sqrt{3}}{3}$R時，V取得極大值，并且這個極大值是最大值．
把 h=$\frac{\sqrt{3}}{3}$R代入r²+h²=R²，得 r=$\frac{\sqrt{6}}{3}$R．
由Rα=2πr，得α=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$π．
故答案為：$\frac{2\sqrt{6}}{3}$π．

點評 本題考查圓錐與扇形展開圖的關(guān)系，體積的計算，考查計算能力，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是建立起體積的函數(shù)模型，理解函數(shù)的單調(diào)性與最值的關(guān)系是解本題的重點．