Question

7．?dāng)?shù)列{a_n}和{b_n}中，a_n，b_n，a_n+1成等差數(shù)列，$\sqrt{_{n}}$，$\sqrt{{a}_{n+1}}$，$\sqrt{_{n+1}}$成等比數(shù)列，且a₁=0，b₁=1，設(shè)c_n=$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$，求數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 通過(guò)2b_n=a_n+a_n+1、a_n+1=$\sqrt{_{n}_{n+1}}$及a₁=0、b₁=1寫成前幾項(xiàng)的值，并猜想a_n=n（n-1）、b_n=n²，利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答 解：依題意，2b_n=a_n+a_n+1，a_n+1=$\sqrt{_{n}_{n+1}}$，
∴a₂=2，b₂=4，a₃=6，b₃=9，a₄=12，b₄=16，
猜想：a_n=n（n-1），b_n=n²．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，顯然成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2）時(shí)，有：a_k=k（k-1），b_k=k²．
∵2b_k=a_k+a_k+1，
∴a_k+1=2b_k-a_k=2k²-k（k-1）=k（k+1），
∵a_k+1=$\sqrt{_{k}_{k+1}}$，
∴b_k+1=$\frac{{{a}_{k+1}}^{2}}{_{k}}$=$\frac{{k}^{2}（k+1）^{2}}{{k}^{2}}$=（k+1）²，
即當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也成立；
由①、②可知a_n=n（n-1），b_n=n²．
∴c_n=$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$=$\frac{n（n-1）}{{n}^{2}}$=$\frac{n-1}{n}$，
∴數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式c_n=$\frac{n-1}{n}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查數(shù)學(xué)歸納法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．