Question

17．已知函數(shù)g（x）=log₂（2x-1），f（x）=log₂（x+2），
（1）求不等式g（x）≥f（x）的解集；
（2）在（1）的條件下求函數(shù)y=g（x）+f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于x的不等式組，解出即可；
（2）先求出y=g（x）+f（x）=${log_2}（2{x^2}+3x-2）$的解析式，令t=2x²+3x-2，通過(guò)換元求出t的范圍，從而求出y=g（x）+f（x）的值域即可．

解答 解：（1）由g（x）≥f（x）得log₂（2x-1）≥log₂（x+2）則有
$\left\{\begin{array}{l}{x+2＞0}\\{2x-1＞0}\\{2x-1≥x+2}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{x＞-2}\\{x＞\frac{1}{2}}\\{x≥3}\end{array}\right.$⇒x≥3
∴不等式g（x）≥f（x）的解集為{x|x≥3}．…（5分）
（2）y=g（x）+f（x）=log₂（2x-1）+log₂（x+2）=log₂（2x-1）（x+2）=${log_2}（2{x^2}+3x-2）$…（7分）
令t=2x²+3x-2，則y=log₂t
由（1）可得{x|x≥3}．，函數(shù)t=2x²+3x-2的對(duì)稱軸為$x=-\frac{3}{4}∉[3，+∞）$，
所以t=3時(shí)，t_min=25，即t≥25
又∵log₂x在t∈[25，+∞）上單調(diào)遞增，∴當(dāng)x≥3時(shí)，y≥log₂25=2log₂5，
∴所求函數(shù)的值域?yàn)閇2log₂5，+∞）．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，是一道中檔題．