Question

17．已知直線l：mx-y+1-m=0與圓C：x²+（y-1）²=5相交于A、B兩點(diǎn)，則弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程為$（x-\frac{1}{2}）^{2}+（y-1）^{2}=\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 求出直線所過定點(diǎn)，設(shè)出A，B，M的坐標(biāo)，臨沂點(diǎn)差法結(jié)合斜率相等列式得答案．

解答 解：由直線l：mx-y+1-m=0，知直線過定點(diǎn)P（1，1），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦AB的中點(diǎn)M（x，y），
則${{x}_{1}}^{2}+（{y}_{1}-1）^{2}=5$，${{x}_{2}}^{2}+（{y}_{2}-1）^{2}=5$，
兩式作差得：$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=-\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}-2}$，
即${k}_{AB}=-\frac{2x}{2y-2}$=$-\frac{x}{y-1}$，
又${k}_{AB}={k}_{PM}=\frac{y-1}{x-1}$，
∴$\frac{y-1}{x-1}=-\frac{x}{y-1}$，整理得：$（x-\frac{1}{2}）^{2}+（y-1）^{2}=\frac{1}{4}$．
故答案為：$（x-\frac{1}{2}）^{2}+（y-1）^{2}=\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程的求法，訓(xùn)練了“點(diǎn)差法”求與中點(diǎn)弦有關(guān)的問題，是中檔題．