Question

12．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinθ，cosθ）（θ∈R），$\overrightarrow$=（1，$\sqrt{3}$）．
（1）當θ為何值時，向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，$\overrightarrow$不能作為平面向量的一組基底；
（2）求$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$在$\overrightarrow$上的投影的最大值；
（3）求|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）要向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，$\overrightarrow$不能作為平面向量的一組基底，則（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）與$\overrightarrow$共線，得到tanθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，進而求出θ；
（2）根據(jù)$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$在$\overrightarrow$上的投影為$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）•\overrightarrow}{|\overrightarrow|}$=sin（θ+$\frac{π}{3}$）+2，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可求出最大值；
（3）利用向量的模的定義化簡，得到|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$|²=-8sin（θ+$\frac{π}{3}$）+17，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可求出范圍．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}$=（sinθ，cosθ）（θ∈R），$\overrightarrow$=（1，$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$=（sinθ+1，cosθ+$\sqrt{3}$），
∵向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，$\overrightarrow$不能作為平面向量的一組基底，
∴（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）與$\overrightarrow$共線，
∴$\sqrt{3}$（sinθ+1）=cosθ+$\sqrt{3}$，
∴tanθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴θ=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z；
（2）∵（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）$•\overrightarrow$=sinθ+$\sqrt{3}$cosθ+4=2sin（θ+$\frac{π}{3}$）+4，|$\overrightarrow$|=$\sqrt{{1}^{2}+3}$=2．
∴$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$在$\overrightarrow$上的投影為$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）•\overrightarrow}{|\overrightarrow|}$=sin（θ+$\frac{π}{3}$）+2，
當θ+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+2kπ時，有最大值，即為3．
∴$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$在$\overrightarrow$上的投影的最大值為3；
（3）∵$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$=（sinθ-2，cosθ-2$\sqrt{3}$），
∴|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$|²=（sinθ-2）²+（cosθ-2$\sqrt{3}$）²=-8sin（θ+$\frac{π}{3}$）+17，
∵-1≤sin（θ+$\frac{π}{3}$）≤1，
∴9≤-8sin（θ+$\frac{π}{3}$）+17≤25，
∴3≤|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$|≤5．

點評 本題主要考查兩個向量的坐標運算，向量的投影，兩角和的正弦公式，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．