Question

7．已知$f（x）=\frac{x}{1+x}（x≥0）$，數(shù)列{a_n}滿足a₁=f（1），且a_n+1=f（a_n）（n∈N₊），則a₂₀₁₅=$\frac{1}{2016}$．

Answer 1

分析 求得a1，再取倒數(shù)，可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+1，結(jié)合等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：由$f（x）=\frac{x}{1+x}（x≥0）$，
可得a₁=f（1）=$\frac{1}{2}$，
由a_n+1=f（a_n），可得a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{1+{a}_{n}}$，
取倒數(shù)，可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+1，
即有{$\frac{1}{{a}_{n}}$}為首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，
即有$\frac{1}{{a}_{2015}}$=2+2015-1=2016，
可得a₂₀₁₅=$\frac{1}{2016}$．
故答案為：$\frac{1}{2016}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)的求法，注意運(yùn)用取倒數(shù)，結(jié)合等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．