Question

8．已知函數(shù)f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{2}$，x∈R
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的最大值及它的單調(diào)遞增區(qū)間
（Ⅱ）將函數(shù)y=f（x）的圖象向下平移$\frac{1}{2}$個(gè)單位，再向左平移$\frac{π}{3}$個(gè)單位得到函數(shù)y=g（x）的圖象，若函數(shù)y=g（x）在x∈[0，$\frac{5π}{6}$]上的圖象與直線y=m恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)函數(shù)的解析式利用正弦函數(shù)的最大值和單調(diào)性求得函數(shù)y=f（x）的最大值及它的單調(diào)遞增區(qū)間
（Ⅱ）由條件利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得g（x）的解析式．令t=2x+$\frac{π}{3}$，則函數(shù)y=sint的圖象和直線y=m在[$\frac{π}{3}$，2π]上有2個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合求得m的范圍．

解答 解：（Ⅰ）對(duì)于函數(shù)f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{2}$，它的最大值為1+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，求得kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，可得函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z．
（Ⅱ）將函數(shù)y=f（x）的圖象向下平移$\frac{1}{2}$個(gè)單位，可得y=sin（2x-$\frac{π}{3}$）的圖象，
再向左平移$\frac{π}{3}$個(gè)單位得到函數(shù)y=g（x）=sin[2（x+$\frac{π}{3}$）-$\frac{π}{3}$]=sin（2x+$\frac{π}{3}$）的圖象．
由x∈[0，$\frac{5π}{6}$]，可得2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，2π]，令t=2x+$\frac{π}{3}$，則函數(shù)y=sint的圖象和直線y=m在[$\frac{π}{3}$，2π]上有2個(gè)交點(diǎn)，
數(shù)形結(jié)合可得 $\frac{\sqrt{3}}{2}$≤m＜1 或-1＜m≤0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦函數(shù)的最大值和單調(diào)性，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象特征，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．