Question

12．已知f（x）=e^x，g（x）=x+1．
（1）證明：f（x）≥g（x）；
（2）求y=f（x），y=g（x）與x=-1所圍成的封閉圖形的面積．

Answer 1

分析 （1）設(shè)h（x）=f（x）-g（x），則h′（x）=e^x-1 h（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，即可證明結(jié)論；
（2）利用S=${∫}_{-1}^{0}（{e}^{x}-x-1）dx$，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：設(shè)h（x）=f（x）-g（x），則h′（x）=e^x-1 
∴h（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴h（x）≥h（0）=0，
∴f（x）≥g（x）；
（2）解：S=${∫}_{-1}^{0}（{e}^{x}-x-1）dx$=$（{e}^{x}-\frac{1}{2}{x}^{2}-x）{|}_{-1}^{0}$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{e}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，考查定積分知識(shí)的運(yùn)用，屬于中檔題．