Question

16．如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E在B₁D₁上，且ED₁=2B₁E，AC與BD交于點O．
（Ⅰ）求證：AC⊥平面BDD₁B₁；
（Ⅱ）求三棱錐O-CED₁的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明B₁B⊥AC，利用AC⊥BD，即可證明AC⊥平面BDD₁B₁；
（Ⅱ）利用等體積轉(zhuǎn)化，求三棱錐O-CED₁的體積．

解答 （Ⅰ）證明：∵B₁B⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴B₁B⊥AC，
∵AC⊥BD，BD∩B₁B=B，
∴AC⊥平面BDD₁B₁；
（Ⅱ）解：∵正方體棱長為1，∴B₁D₁=$\sqrt{2}$，ED₁=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴${S}_{△OE{D}_{1}}$=$\frac{1}{2}•E{D}_{1}•D{D}_{1}$=$\frac{1}{2}×\frac{2\sqrt{2}}{3}×1$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∵AC⊥平面BDD₁B₁，
∴CO⊥平面OED₁，
∵CO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴三棱錐O-CED₁的體積=三棱錐C-OED₁的體積=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{2}}{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{9}$．

點評 本題考查線面垂直，考查三棱錐O-CED₁的體積，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．