Question

16．已知集合A={a|關(guān)于x的方程$\frac{x+a}{{{x^2}-1}}=1$有唯一實(shí)數(shù)解，a∈R}，用列舉法表示集合A=$\left\{{-1，1，-\frac{5}{4}}\right\}$．

Answer 1

分析 若關(guān)于x的方程$\frac{x+a}{{{x^2}-1}}=1$有唯一實(shí)數(shù)解，則x+a=x²-1有一個不為±1的解，或x+a=x²-1有兩解，其中一個為1或-1，分類討論求出滿足條件的a值，綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答 解：若關(guān)于x的方程$\frac{x+a}{{{x^2}-1}}=1$有唯一實(shí)數(shù)解，
則x+a=x²-1有一個不為±1的解，或x+a=x²-1有兩解，其中一個為1或-1，
當(dāng)x+a=x²-1有一個解時，
△=1+4a+4=0，此時a=$-\frac{5}{4}$，x=$\frac{1}{2}$，滿足條件；
若x+a=x²-1有兩解，其中一個為1時，a=-1，x=0，或x=1，滿足條件；
若x+a=x²-1有兩解，其中一個為-1時，a=1，x=2，或x=-1，滿足條件；
綜上所述：A=$\left\{{-1，1，-\frac{5}{4}}\right\}$，
故答案為：$\left\{{-1，1，-\frac{5}{4}}\right\}$

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，難度中檔．