Question

如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中．
（1）求證：B₁D⊥平面A₁BC₁；
（2）已知?jiǎng)狱c(diǎn)K滿足

B1K

=λ

B1D

（0＜λ＜1）
①當(dāng)λ=

 

時(shí)，A₁，C₁，K三點(diǎn)確定的平面截該正方體所得的截面多邊形為矩形（直接填空，不必證明）；
②若點(diǎn)k∈平面A₁BC₁，求D₁K與平面A₁BC₁所成角α的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,直線與平面所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）以A為原點(diǎn)，以AB為x軸，AD為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明B₁D⊥平面A₁BC₁．
（2）①由已知條件推導(dǎo)出λ=

1

2

．
②

B1K

=λ

B1D

=（-λ，λ，-λ），由

B1D

•

A1K

=0，得

D1K

=（

2

3

，-

2

3

，-

1

3

），由此能求出D₁K與平面A₁BC₁所成角α的正弦值．

解答： （1）證明：在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
以A為原點(diǎn)，以AB為x軸，AD為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
由題意A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），
A₁（0，0，1），B₁（1，0，1），C₁（1，1，1），D₁（0，1，1），

B1D

=（-1，1，-1），

A1C1

=（1，1，0），

BC1

=（0，1，1），
∵

B1D

•

BC1

=0，∴B₁D⊥BC₁，
∴B₁D⊥平面A₁BC₁．
（2）①解：λ=

1

2

．
故答案為：

1

2

．
②解：∵

B1K

=λ

B1D

=（-λ，λ，-λ），
∴

B1D

•

A1K

=0，得λ-1+λ+λ=0，即λ=

1

3

，
此時(shí)

D1K

=（

2

3

，-

2

3

，-

1

3

），
則D₁K與平面A₁BC₁所成角α的正弦值：
sinα=|cos＜

D1K

，

B1D

＞|=

|- 2 3 - 2 3 + 1 3 |

3 • 4 9 + 4 9 + 1 9

=

3

3

，
∴D₁K與平面A₁BC₁所成角α的正弦值為

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．