已知二次函數(shù)f(x)滿足條件f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x.
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=f(x)+(2-m)x+2m-1,已知g(x)在[0,1]上有且只有一個零點,求m的取值范圍.
考點:抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)零點的判定定理
專題:計算題,分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析:(1)據(jù)二次函數(shù)的形式設(shè)出f(x)的解析式,將已知條件代入,列出方程,令方程兩邊的對應(yīng)系數(shù)相等解得.
(2)令g(x)=0,則有x2-(m-1)x+2m=0,分類討論:1)當(dāng)方程x2-(m-1)x+2m=0在[0,1]上有兩個相等的實根時,矛盾;2)當(dāng)方程x2-(m-1)x+2m=0有兩個不相等的實根時,分3種情況來考慮即可.
解答: 解:(1)設(shè)y=f(x)=ax2+bx+c,
∵f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x
∴c=1;a(x+1)2+b(x+1)+c-(ax2+bx+c)=2x
∴2a=2,a+b=0,解得a=1,b=-1,
∴函數(shù)f(x)的表達式為f(x)=x2-x+1;
(2)∵g(x)=f(x)+(2-m)x+2m-1,
令g(x)=0,則有x2-(m-1)x+2m=0
1)當(dāng)方程x2-(m-1)x+2m=0在[0,1]上有兩個相等的實根時,
△=(m-1)2-8m=0且0<
m-1
2
<1,此時無解.
2)當(dāng)方程x2-(m-1)x+2m=0有兩個不相等的實根時,
①有且只有一根在[0,1)上時,有f(0)f(1)<0,即2m(m+2)<0,解得-2<m<0,
②當(dāng)f(0)=0時,m=0,f(x)=x2+x=0,解得x1=0,x2=-1,符合題意.
③f(1)=0時,m=-2,方程可化為x2+3x-4=0,解得x1=1,x2=-4,符合題意,
綜上可得,實數(shù)m的取值范圍為:[-2,0].
點評:本題考查二次函數(shù)的解析式的求法:待定系數(shù)法,考查二次方程根的分布,考查分類討論的思想方法,同時考查零點存在定理,屬于中檔題.
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已知函數(shù)f(x)=x+
1
x
,
(1)判斷f(x)在區(qū)間(1,+∞)上的單調(diào)性,并用定義證明;
(2)當(dāng)x∈(-∞,0)時,寫出函數(shù)f(x)=x+
1
x
的單調(diào)區(qū)間(不必證明).

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求下列各式的值.
(1)
1
2
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0.1
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(2)
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(1)求證:B1D⊥平面A1BC1;
(2)已知動點K滿足
B1K
B1D
(0<λ<1)
①當(dāng)λ=
 
時,A1,C1,K三點確定的平面截該正方體所得的截面多邊形為矩形(直接填空,不必證明);
②若點k∈平面A1BC1,求D1K與平面A1BC1所成角α的正弦值.

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2x-1
2x+1
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(2)判定函數(shù)f(x)在R上的單調(diào)性,并證明.

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1
2
an+
1
2n-1
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x
,則log2f(2)的值為
 

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